On considère le polynôme $P(x) = 2x^3 -x^2 + 3x + 6$

1. Montrer que le polynôme $P(x)$ est divisible par $(x+1)$.
2. Déterminer le polynôme $Q(x)$ tel que $P(x) = (x+1)Q(x)$.

On considère le polynôme $P(x) = x^3 -3x^2 + x + 2$

1. Calculer $P(2)$
2. Démontrer qu’il existe un polynôme $Q(x)$ tel que $P(x) = (x-2)Q(x)$ et déterminer $Q(x)$.

On considère le polynôme $P(x) = x^3 + \left(\sqrt{5}-1\right)x^2 -\left( \dfrac{\sqrt{6}}{2} -\sqrt 5\right)x -\dfrac{\sqrt{6}}{2}$
Montrer qu’il existe un polynôme $Q(x)$ tel que $P(x) = (x-1)Q(x)$ et déterminer $Q(x)$.

On considère le polynôme $P(x) = -x^4 + x^3 + 5x^2 -3x -6$

1. Calculer $P(2)$ et $P(-1)$ puis factoriser $P(x)$.
2. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’inéquation: $P(x) \ge 0$.
3. Résoudre dans $\mathbb{R}^+$ l’équation:  $-x^2-x\sqrt x +5x-3\sqrt x-6=0$.
4. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation: $(x-1)^4+|x-1|^3-5(x-1)^2+3|x-1|+6=0$.

On considère le polynôme $P(x) = 2x^3 -7x^2 + 7x -2$

1. Calculer $P(2)$.
2. Démontrez que si $\alpha$ est une racine de $P(x)$, alors $\dfrac{1}{\alpha}$ est une racine de $P(x)$.
3. En déduire une factorisation de $P(x)$.
4. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’inéquation: $P(|x|)\ge 0$.

On considère le polynôme $P(x) = (1 -\alpha)x^3 + \alpha x^2 + 3\alpha x -3$

1. Déterminer le nombre $\alpha$ pour que $P(x)$ soit divisible par $(x+1)$.
2. Déterminer dans ce cas les nombres $a, b$ et $c$ tels que : $P(x) = (x + 1)(ax^2 + bx + c)$.

On considère le polynôme $P(x) = ax^3 + bx^2 + 2x + 1$

1. Déterminer les nombres $a$ et $b$ pour que $1$ et $-1$ soient des racines de $P(x)$.
2. On suppose que : $a=-2$ et $b=-1$. Factoriser le polynôme $P(x)$.

On considère le polynôme $P(x) = x^3 -(3 + \alpha)x^2 + (2 + 3\alpha)x -2\alpha$
Calculer $P(\alpha)$ puis factoriser $P(x)$.

Montrer qu’il existe un polynôme $P(x)$ de second degré qui satisfait : $$P(-1)=4\quad,\quad P(1)=3\quad,\quad P(2)=4$$

1. Déterminer un polynôme $P(x)$ de second degré tel que : $P(x+1)-P(x)=x$.
2. En déduire la somme : $S=1+2+3+\ldots+n$

Soit $ABC$ un triangle, et soit $M$ un point tel que : $\overrightarrow {AM} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow {AB}$.
Soit $M_1$ la projection de $M$ sur $(AC)$ parallèlement à $(BC)$, $M_2$ la projection de $M_1$ sur $(AC)$ parallèlement à $(AB)$ et $M_3$ la projection de $M_2$ sur $(AB)$ parallèlement à $(AC)$.

1. Exprimer $\overrightarrow {BM_3}$ en fonction de $\overrightarrow{BA}$.
2. En déduire que les segments $[AB]$ et $[MM_3]$ ont le même milieu.

Soit $ABCD$ un parallélogramme et soit $(\Delta)$ une droite mobile passant par $C$ et coupant $(AB)$ en $E$ et $(AD)$ en $F$.
Montrer que : $\dfrac{{\overline {AB} }}{{\overline {AE} }} + \dfrac{{\overline {AD} }}{{\overline {AF} }} = 1$

Soit $ABCD$ un trapèze, de bases $[AB]$ et $[CD]$.
Soit $I$ le milieu de $[AD]$, et $J$ le milieu de $[BC]$.

1. Montrer que $\overrightarrow{IM} = \overrightarrow{NJ}$.
2. En déduire que les segments $[MN]$ et $[IJ]$ ont le même milieu.

Soit un quadrilatère $ABCD$, et soit $M$ un point tel que : $\overrightarrow{BM} = \dfrac{1}{3} \overrightarrow{BA}$.
Soit $N$ la projection de $M$ sur $(BC)$ parallèlement à $(AC)$ et $P$ la projection de $N$ sur $(CD)$ parallèlement à $(BD)$

1. Montrer que : $\overrightarrow{DP} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow{DC}.$
2. On considère le point $Q$ tel que : $\overrightarrow{DQ}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{DA}.$
   Montrer que le quadrilatère $MNQP$ est un parallélogramme.

Soit $ABC$ un triangle, et soit $E$ et $F$ deux points tels que :
$$\overrightarrow{AE}= \dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}\quad\text{et}\quad\overrightarrow{AF}= \dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}.$$

1. Comparer $\dfrac{\overline {AE}}{\overline {AB}}$ et $\dfrac{\overline {AF}}{\overline {AC}}$.
2. En déduire que $ (EF) \parallel (BC) $.
3. Soit $O$ le point d’intersection de $ (EC) $ et $ (BF)$.
   Vérifier que : $\dfrac{\overline {OE}}{\overline {OC}} = -\dfrac{1}{3}$
4. La droite $(OA)$ coupe $[EF]$ en $I$ et $[BC]$ en $J$. Montrer que $I$ est le milieu de $[EF]$ et $J$ est le milieu de $[BC].$

1. Donner l’encadrement du nombre $x^2+y^2+4x -2y$ sachant que $3 < x  < 4$ et $-5 < y < 2$.
2. Donner l’encadrement des nombres : $xy$ et $x^2y$ sachant que $-1 < x < 1$ et $-1 < y < 1$

Soit $A = x^2 -5x + 6$ avec $2 < x < 3$.

1. Donner un encadrement pour le nombre $A$.
2. Vérifier que $A = (x -2)(x -3)$ et déduire un encadrement plus précis du nombre $A$.
3. Vérifier que $A = \left( x -\dfrac{5}{2} \right)^2 -\dfrac{1}{4}$ et dédure un encadrement encore plus précis du nombre $A$.

Soient $x$ et $y$ deux nombres réels tels que $ \left| 2x-\dfrac{3}{2}\right| < \dfrac{1}{2}$ et $\left| y-\dfrac{3}{4}\right| < \dfrac{1}{4}$.

1. Montrer que $x$ et $y$ sont des éléments de l’intervalle $\left] \dfrac{1}{2}, 1 \right[$.
2. 1. Vérifier que : $xy -3x -2y -1 = (x -2)(y -3) -7$.
   2. Montrer que : $-5 < xy -3x -2y -1 < -\dfrac{13}{4}$.

Soit $a$ un nombre réel tel que $|a -1| < \dfrac{1}{2}$​.
Montrer que $\dfrac{4}{3}$ est une approximation du nombre $\dfrac{1}{a}$  avec une précision de $\dfrac{2}{3}$​.

Soit $x$ un nombre réel tel que  $\left| x-\dfrac{3}{2}\right|<\dfrac{1}{2}$. On pose : $a=\dfrac{1}{x^2+1}$.

1. Donner une approximation par défaut et par excès avec une précision de $\dfrac{3}{10}$.
2. Trouver une approximation du nombre $a$ avec une précision de $\dfrac{3}{20}$.

1. Montrer que pour tout $x \in \mathbb{R}^+$, $\sqrt{9 + x} \leq 3 + \dfrac{x}{6}$.
2. Montrer que pour tout $0\le x \le 7$, $3+\dfrac{x}{7} \leq \sqrt{9 + x}$.
3. Déduire un encadrement du nombre $\sqrt{9,789}$ avec une précision $2\times 10^{-2}$.

1. Vérifier que $\dfrac{1}{x+1}-(1-x) = \dfrac{x^2}{x + 1}$ pour tout $x \neq -1$.
2. Montrer que si $|x| < \dfrac{1}{2}$, alors $0 \le \dfrac{1}{x + 1}-(1-x) < 2x^2$.
3. Trouvez une approximation du nombre $\dfrac{1}{1,0005}$ avec une précision de $5\times 10^{-7}$.

1. Montrer que pour tout $x$ de $\mathbb{R}^*$, $|x| < \sqrt{x^2 + 1} < |x|+ \dfrac{1}{2|x|}$.
2. Trouver un encadrement du nombre $\dfrac{\sqrt{122}}{3}$ avec une précision de $\dfrac{1}{66}$.

Soit $x$ un nomre réel.

1. Montrer que si $1\le x\le 3$, alors $\dfrac{1}{\left| x+2\right|} <\dfrac{1}{3}$.
2. En déduire que si $1 \leq x \leq 3$, alors $\left| \dfrac{x -1}{x + 2}-\dfrac{1}{4} \right| \le \dfrac{1}{4}\left| x-2\right|$.

Soit $x$ un nombres réel positif.

1. Montrer que : $\left|(1 -2x)^3 -(1 -6x)\right| = x^2\left|12-8x\right|$.
2. Supposons que $-\dfrac{1}{2} \leq x \leq \dfrac{1}{2}$.
   1. Montrer que : $\left|12 -8x\right| \leq 16$.
   2. En déduire que : $\left|(1-2x)^3-(1-6x)\right| \leq 16x^2$.
   3. Donner une approximation du nombre $0,9998^3$ avec une précision de $16\times 10^{-8}$.

1. Montrer que pour tout $x \in ]-1,+\infty[$, $\sqrt{x + 1} -1 = \dfrac{x}{\sqrt{x + 1} + 1}$.
2. Montrer que si $-0,19 < x < 0,21$, alors $\dfrac{|x|}{2,1} \le \sqrt{x + 1} -1 \le \dfrac{|x|}{1,9}$.

Soient $ a $ et $ b $ deux réels tels que $ 0 < a \leq b \leq 2a $.

1. 1. Montrer que : $(a-b)(2a-b) \leq 0$.
   2. Développer et factoriser $ (a-b)(2a-b) $ et $ (a\sqrt{2} -b)^2 $.
2. Posons $ A = \dfrac{2a^2 + b^2}{3ab} $. Montrer que :$\dfrac{2\sqrt{2}}{3} \leq A \leq 1$
3. Montrer que $ \dfrac{(1 + \sqrt{2})^2}{6} $ est une valeur approchée du nombre $A$ à $ \dfrac{(1 -\sqrt{2})^2}{6} $ près.

Soit $ a \in \mathbb{R} $ tel que $ |a| < \dfrac{1}{2} $. On pose : $A = \dfrac{1}{\sqrt{1 + a}} -\left(1 -\dfrac{a}{2}\right)$

1. 1. Montrer que : $A = \dfrac{{\sqrt {1 + a} -\left( {1 +\dfrac{a}{2}} \right) + \dfrac{{{a^2}}}{2}}}{{1 + a}}$
   2. Montrer que $ \sqrt{1 + a} \leq 1 + \dfrac{a}{2}$, puis en déduire que : $A\le a^2$
   3. Montrer que $ \dfrac{1}{\sqrt{1 + a}} \geq 1 -\dfrac{a}{2} $.
2. Déduire une valeur approchée du nombre $\dfrac{1}{\sqrt{1,01}} $ à $ 10^{-4}$ près.

Soient $ a $ et $ b $ deux réels tels que $ 1 \leq b \leq 3 $ et $ |a + 3| \leq 1 $.

1. 1. Montrer que $ -4 \leq a \leq -2 $
   2. Montrer que $|a + b + 1| \leq 2 $.
2. On Considère l’expression $E = 2b -3a + ab$.
   1. Vérifier que $E=(a+2)(b-3)+6$
   2. Montrer que $ 6 \leq E \leq 10 $.

On considère le nombre $a=\dfrac{\sqrt{5-\sqrt{21}}}{\sqrt{2}}$

1. Vérifier que : $ a = \dfrac{\sqrt{7} -\sqrt{3}}{2} $
2. Sachant que $2,64 < \sqrt{7} < 2.65$ et $1,73 < \sqrt{3} < 1,74$, donner l’approximation décimale du nombre $a$ à $10^{-2}$ près, par excès et par défaut.

Soient $ x $ et $ y $ deux réels tels que $ 3,13 \leq x \leq 3,17 $ et $ |y + 1| \leq 3 \times 10^{-2} $.

1. Montrer que $ -1,03 \leq y \leq -0,97 $.
2. Déterminer un encadrement de $ (y -3)^2 $.
3. Comparer les deux expressions $2x+3y$ et $ x + 2y -xy $.

Soit $ABC$ un triangle. $M$, $N$, et $P$ sont respectivement les milieux des segments $[BC]$, $[CA]$, et $[AB]$.
Montrez que :  $\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {BN} + \overrightarrow {CP} = \overrightarrow 0.$

Soit $ABC$ un triangle. $I$, $J$, et $K$ sont trois points tels que : $$\overrightarrow {BI} = \dfrac{3}{2}\overrightarrow {BC}\,\,\,;\,\,\,\overrightarrow {CJ} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow {CA}\,\,\,;\,\,\,\overrightarrow {AK} = \dfrac{2}{5}\overrightarrow {AB}$$Montrez que les points $I$, $J$ et $K$ sont alignés.

Soit $ABC$ un triangle. $I$, $J$, et $K$ sont respectivement les milieux des segments $[BC]$, $[CA]$, et $[AB]$. Soit $L$ un point tel que $KBJL$ est un parallélogramme.

1. Construisez le point $L$.
2. Montrez que $J$ est le milieu de $[IL]$.
3. En déduisez que $ALCI$ est un parallélogramme.

Soient $A$, $B$, et $C$ trois points non alignés.

1. Exprimez $\overrightarrow {AB}$ en fonction de $\overrightarrow {CA}$ et $\overrightarrow {CB}$.
2. Soit $M$ un point tel que $\overrightarrow {CM}=3\overrightarrow {MB}$. Exprimez $\overrightarrow {AM}$ en fonction de $\overrightarrow {CA}$ et $\overrightarrow {CB}$.
3. Les points $A$, $M$, et $B$ sont-ils alignés ?

Soit $ABC$ un triangle. $M$ et $N$ sont deux points tels que : $$\overrightarrow {AM} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow {AB}\,\,\,;\,\,\,
\overrightarrow {NA} = \dfrac{3}{2}\overrightarrow {NC}$$

1. Montrez que $\overrightarrow {MC}$ et $\overrightarrow {BN}$ sont colinéaires.
2. Soit $I$ le milieu du segment $[BN]$. Construisez le point $D$ tel que $\overrightarrow {CI} + \overrightarrow {DI} = \overrightarrow {0}$, puis montrez que $BCND$ est un parallélogramme.

Soit $ABC$ un triangle. $B’$ et $C’$ sont deux points tels que : $\overrightarrow {AB’} = k\overrightarrow {AB}$ et $\overrightarrow {AC’} = (1-k)\overrightarrow {AC}$, avec $k\in\mathbb{R}$, et $I$ est le milieu du segment $[B’C’]$.

1. Montrez que : $\overrightarrow {AI} = \dfrac{{1 – k}}{2}\overrightarrow {AC} + \dfrac{k}{2}\overrightarrow {AB}$.
2. On Considère le point $A’$ tel que $I$ soit le milieu de $[AA’]$. Montrez que $\overrightarrow {BA’} = \left( {1 – k} \right)\overrightarrow {BC}$.
3. Montrez que : $\overrightarrow {IA} + k\overrightarrow {IB} + \left( {1 – k} \right)\overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0$.

Soit $ABC$ un triangle. $D$, $E$, et $F$ sont trois points tels que :
$$\overrightarrow {BD} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow {BC}\,\,\,;\,\,\,\overrightarrow {AE} = -2\overrightarrow {AD}\,\,\,;\,\,\,\overrightarrow {BF} = \dfrac{3}{5}\overrightarrow {BE}$$

1. Construisez les points $D$, $E$, et $F$.
2. Montrez que $\overrightarrow {EA} = 2\overrightarrow {AB} + \dfrac{4}{3}\overrightarrow {BC}$ et que $\overrightarrow {FB} = \dfrac{9}{5}\overrightarrow {AB} + \dfrac{4}{5}\overrightarrow {BC}$.
3. Montrez que les points $A$, $F$, et $C$ sont alignés et que $F$ est le point d’intersection des droites $(AC)$ et $(BE)$.

$A$, $B$, et $C$ sont trois points non alignés, et $E$ et $F$ sont deux points tels que : $\overrightarrow {AE} = \dfrac{3}{2}\overrightarrow {AB}$ et $\overrightarrow {AF} = 3\overrightarrow {AC}$.

1. Construire la figure.
2. Soit $P$ le point d’intersection des droites $(BC)$ et $(EF)$. Montrez que $\overrightarrow {AP} = 2\overrightarrow {AB} – \overrightarrow {AC}$.

$A$, $B$, et $C$ sont trois points non alignés, et $D$ est un point tel que : $\overrightarrow {AD} = 2\overrightarrow {AB} + 3\overrightarrow {AC}$. $E$ est le point d’intersection de $(AD)$ et $(BC)$.

1. Trouvez une relation entre $\overrightarrow {AD}$ et $\overrightarrow {AE}$.
2. Déterminez la position du point $E$ sur $\overrightarrow {BC}$.

Soit $ABCD$ un quadrilatère convexe tel que $\overrightarrow {AD} = 3\overrightarrow {BC}$. $M$ et $N$ sont les milieux des segments $[AB]$ et $[DC]$ respectivement.

1. Montrez que : $\overrightarrow {MN} = 2\overrightarrow {BC}$.
2. Soit $I$ et $P$ les milieux des segments $[BC]$ et $[BD]$ respectivement, et $J$ un point tel que $\overrightarrow {AJ} = \dfrac{5}{6}\overrightarrow {AD}$. Exprimez $\overrightarrow {IJ}$ et $\overrightarrow {IP}$ en fonction de $\overrightarrow {BA}$ et $\overrightarrow {BC}$ et montrez que les points $I$, $P$, et $J$ sont alignés.

Soit $ABCD$ un parallélogramme et $E$ et $F$ deux points tels que : $\overrightarrow {BE} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AB} $ et $\overrightarrow {AF} = 3\overrightarrow {AD}$.

1. Montrez que : $\overrightarrow {CE} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AB} – \overrightarrow {BC}$ et que $\overrightarrow {CF} = 2\overrightarrow {AD} – \overrightarrow {DC}$.
2. Montrez que les points $E$, $F$ et $C$ sont alignés.
3. Soit $N$ le milieu du segment $[DF]$ et $M$ un point tel que $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {BM}$.
   1. Calculez $\overrightarrow {CM}$ et $\overrightarrow {CN}$ en fonction de $\overrightarrow {AB}$ et $\overrightarrow {AD}$.
   2. Montrez que $C$ est le milieu du segment $[MN]$.
   3. Montrez que $\overrightarrow {MN} = 2\overrightarrow {BD}$.

Soit $ABCD$ un trapèze tel que $(AB)\parallel(CD)$ et $I$ et $J$ les milieux des segments $[AB]$ et $[DC]$ respectivement.

1. 1. Montrez que pour tout point $M$ du plan, on a : $\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} = 2\overrightarrow {MI} + 2\overrightarrow {MJ}$.
   2. En déduire la construction du point $N$ tel que : $\overrightarrow {NA} + \overrightarrow {NB} + \overrightarrow {NC} + \overrightarrow {ND} = \overrightarrow{0}$.
2. Soit $G$ un point tel que : $\overrightarrow {CG} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow {CI}$. Montrez que les points $N$, $B$ et $G$ sont alignés.

$ABCD$ est un parallélogramme. $E$ et $F$ sont les milieux des segments $[AB]$ et $[CD]$ respectivement. Les droites $(BD)$ et $(CE)$ se coupent en $I$. Les droites $(BD)$ et $(AF)$ se coupent en $J$.
Montrez que $\overrightarrow {BI} = \overrightarrow {IJ} = \overrightarrow {JD}$.

Soit $ABC$ un triangle.

1. Construisez les points $P$, $Q$ et $E$ tels que : $\overrightarrow {AP} = 2\overrightarrow {AB}$, $\overrightarrow {AQ} = 5\overrightarrow {AC}$ et $\overrightarrow {AE} = \overrightarrow {AQ} + \overrightarrow {AP}$.
2. Quelle est la nature du quadrilatère $APEQ$ ?
3. Les droites $(AE)$ et $(BC)$ se coupent en un point $D$.
   1. Exprimez $\overrightarrow {AE}$ en fonction de $\overrightarrow {AD}$, $\overrightarrow {DC}$ et $\overrightarrow {DB}$.
   2. En déduire que $\overrightarrow {AE}=7\overrightarrow {AD}$.
4. Soit $I$ le point d’intersection des droites $(AE)$ et $(PQ)$.
   1. Montrez que $\overrightarrow {AD}=\dfrac{2}{5}\overrightarrow {DI}$, puis en déduire que $\overrightarrow {AD}=\dfrac{1}{5}\Big(\overrightarrow {DP} + \overrightarrow {DQ}\Big)$.
   2. Exprimez les vecteurs $\overrightarrow {AP}$ et $\overrightarrow {AQ}$ en fonction de $\overrightarrow {DP}$ et $\overrightarrow {DQ}$.

Rendre le dénominateur de chacun des nombres suivants un nombre entier :

1. $A = \dfrac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$
2. $B = \dfrac{{\sqrt 2 + 3}}{{2\sqrt 3 + \sqrt 5 }}$
3. $C = \dfrac{1}{{\sqrt {14} + \sqrt {21} + \sqrt {15} + \sqrt {10} }}$
4. $D = \dfrac{{3 + 4\sqrt 3 }}{{\sqrt 6 + \sqrt 2 + \sqrt 5 }}$

Démontrer les égalités suivantes :

1. $\sqrt {8 + \sqrt {15} } = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\left( {1 + \sqrt {15} } \right)$
2. $\sqrt {17 + 12\sqrt 2 } + \sqrt {17 – 12\sqrt 2 } = 6$

Considérons le nombre : $A=\sqrt{6-2\sqrt{5}}-\sqrt{6+2\sqrt{5}}$

1. Déterminer le signe du nombre $A$.
2. Calculer $A^2$ et en déduire une forme simplifiée pour le nombre $A$.

Soit $a$ et $b$ dans $\mathbb{R}$ tels que $a+b=10$ et $ab=1$.

1. Calculer $\sqrt{a}+\sqrt{b}$.
2. Calculer $\dfrac{a\sqrt{a}-b\sqrt{b}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}$.

Soit $x$ et $y$ deux éléments de $\mathbb{R}$.

1. Montrer que si $x^2+y^2=0$, alors $x=y=0$.
2. Trouver tous les nombres réels $a$ et $b$ vérifiant : $2a^2+b^2+1=2ab-2a$.

Soit $x$ et $y$ deux entiers naturels premiers entre eux tels que : $\dfrac{1001}{5577}+\dfrac{285}{665}=\dfrac{x}{y}$.
Calculer $x+y$.

Soit $x$ et $y$ deux nombres entiers rationnels tels que : $x^2+2y+6=x(y+6)$.

1. Montrer que : $\big(2x-(y+6)\big)^2=(y+2)^2+8$.
2. Déterminer les valeurs de $x$ et $y$.

Trouver un nombre naturel $n$ composé de deux chiffres tel que : $\sqrt{n+\sqrt{n+7}}\in\mathbb{N}$

Effectuer les expressions : $A=x^8+x+1$ et $B=x^{10}+x^5+1$.

Démontrez les affirmations suivantes :

1. Si $a$ et $b$ sont pairs, alors $a+b$ est pair.
2. Si $a$ et $b$ sont impairs, alors $a+b$ est pair.
3. Si $a$ est pair et $b$ est impair, alors $a+b$ est impair.
4. Si $a$ et $b$ sont pairs, alors $ab$ est pair.
5. Si $a$ et $b$ sont impairs, alors $ab$ est impair.
6. Si $a$ est pair et $b$ est impair, alors $ab$ est pair.
7. Si $a$ et $b$ sont deux nombres consécutifs, alors l’un est pair et l’autre est impair.

1. Démontrez que si $a$ est pair, alors $a^2$ est pair.
2. Démontrez que si $a$ est impair, alors $a^2$ est impair.
3. En déduisez que si $a^2$ est pair, alors $a$ est pair, et si $a^2$ est impair, alors $a$ est impair.
4. Démontrez que $\sqrt{2}\not\in \mathbb{Q}$.

Soit $a$ un nombre impair.

1. Démontrez que $a^2-1$ est un multiple de $8$.
2. En déduisez que $a^4-1$ est un multiple de $16$.
3. Démontrez que si $m$ et $n$ sont des nombres impairs, alors $8$ divise $m^2+n^2+6$.

Soit $x\in \mathbb{N}$.

1. Développez et simplifiez $(x+1)^2-x^2$.
2. En déduisez que tout nombre impair est une différence de deux carrés parfaits.
3. Écrivez le nombre $2005$ comme différence de deux carrés parfaits.
4. On considère le nombre $a=n^2+n+7$ où $n\in \mathbb{N}$.
   1. Démontrez que le nombre $a$ est impair.
   2. En déduisez que le nombre $a$ est une différence de deux carrés parfaits.

Soit $m$ et $n$ de $\mathbb{N}$ tels que $m>n$.

1. Démontrez que $m+n$ et $m-n$ ont la même parité.
2. Déterminez les entiers naturels $x$ et $y$ qui satisfont $x^2-y^2=12$.

1. Démontrez que : $a=3n^2+15n+7$ est un nombre impair.
2. Démontrez que : $b=5n^2-7n+4$ est un nombre pair.
3. Démontrez que : $c=n^4-n^2+16$ est un multiple de $4$.

Déterminez les entiers naturels $n$ qui vérifient $5n<32<5(n+1)$.

Déterminez le plus grand diviseur commun et le plus petit multiple commun des nombres $a$ et $b$ dans les cas suivants :

1. $a=214$ et $b=816$
2. $a=7371$ et $b=4095$
3. $a=1959$ et $b=1963$

1. Déterminez le nombre $a$ pour que le nombre $\overline {4a3a}$ soit divisible par $9$.
2. Déterminez les nombres $a$ et $b$ pour que le nombre $\overline{65ab}$ soit divisible par $3$ et $4$.

Démontrez que pour tout entier naturel $n$, le nombre $\dfrac{n(n+1)(n+2)}{3}$ est un entier naturel.

1. Démontrez que si $d$ divise $a$ et $b$, alors $d$ divise $ax+by$ pour tout $x$ et $y$ de $\mathbb{N}$.
2. Démontrez que si $d$ divise $ab$ et $a+b$, alors $d$ divise $a^2$.
3. Déterminez $\left( {{n^2} + n + 1} \right) \wedge \left( {n + 1} \right)$ pour tout $n\in \mathbb{N}$.
4. Déterminez $\left( {{2^{n + 1}} – 1} \right) \wedge \left( {{2^n} – 1} \right)$ pour tout $n\in \mathbb{N}^*$.

Déterminez parmi les nombres suivants ceux qui sont premiers :

1. $119$
2. $503$
3. $1559$
4. $2523$
5. $341$
6. $2027$

Soit $n\in\mathbb{N}^*$.

1. Démontrez que $n^3-n=(n+2)(n^2-2n+3)-6$.
2. En déduisez les valeurs de $n$ pour que $\dfrac{n^3-n}{n+2}$ soit un entier naturel.

Soit $a\in\mathbb{N}$. Sachant que le reste de la division de $a$ par $12$ est $6$, quel est le reste de la division de $a$ par $4$, $3$, et $2$?

1. Montrer que $\left(\forall(a, b) \in \mathbb{Z}^{2}\right): \,\,\, a \wedge b=1 \Rightarrow a \wedge b(a+b)=1.$
2. Soient $x, y \in \mathbb{N}^{*}$ tels que : $x(43-x)=y(x+y)$. On pose $x \wedge y=d, x=d x^{\prime}, y=dy^{\prime}.$
   1. Montrer que $x^{\prime} \mid d$.
   2. On pose $\alpha=\dfrac{d}{x^{\prime}}$. Montrer que $\alpha\left(x^{\prime 2}+{x^{\prime}} y^{\prime}+y^{\prime 2}\right)=43$ et en déduire que $\alpha=1.$
3. Résoudre dans $\mathbb{Z}^{* 2}$ l’équation $x(43-x)=y(x+y).$

Soient $k \in \mathbb{N}^{*},$ $A=9(k+3),$ $B=4 k,$  $d=A \wedge B$

1. Montrer que $d\mid 108$.
2. Déterminer les valeurs de $k$ pour lesquelles on a :
   1. $2$ ne divise pas $d$
   2. $3$ ne divise pas $d.$
3. Soit $k=2+6m$.
   1. Montrer que $d=1.$
   2. Résoudre dans $\mathbb{Z}^{2}$ l’équation $A x-B y=108.$

On pose $A_{n}=6 n^{3}-n^{2}+2 n+2$, $B_{n}=2 n-1$, $C_{n}=2 n^{2}+n-5$. $n$ étant un entier relatif tel que les nombres $A_{n}$, $B_{n}$, $C_{n}$ soient non nuls.

1. Montrer que : $A_{n} \wedge B_{n}=(n+1) \wedge 7$.
2. Déterminer suivant les valeurs de $n A_{n} \wedge B_{n}$.
3. Montrer que : $C_{n} \wedge B_{n}=B_{n} \wedge 6$.
4. Déterminer suivant les valeurs de $n C_{n} \wedge B_{n}$.

1. Soient $a, b \in \mathbb{N}$. Montrer que : $a \wedge b=1 \Rightarrow(a+2 b) \wedge(3 a+5 b)=1$.
2. Résoudre dans $\mathbb{N}^{2}$ le système $\left\{\begin{array}{l}(a+2 b)(3 a+5 b)=127 b \\ a b=2(a \vee b)\end{array}\right.$

Soient $a, b, c, d \in \mathbb{N}^{*}$

1. Montrer que $a \wedge(b \vee a)=a$ et $a \vee(b \wedge a)=a$.
2. Montrer que si $a \wedge b=1$ alors $a \wedge(b c)=a \wedge c$ et $a \vee(b c)=b(a \vee c)$.
3. Montrer que $\left(a^{2}+b^{2}\right) \wedge(a b)=(a \wedge b)^{2}$.
4. Montrer que $a \wedge b=(a+b) \wedge(a \vee b)$.

Soient $a, b, m, n \in \mathbb{N}$

1. Montrer que : $(a \equiv b[n]$ et $d\mid n) \Rightarrow a \equiv b[d]$
2. Montrer que : $(a \equiv b[n]$ et $a \equiv b[m]) \Leftrightarrow a \equiv b[m \vee n]$
3. En déduire que si $a \equiv a^{5}[5]$ alors $a$ et $a^{5}$ ont la même unité dans leur écriture en base $10$.

Soit $n$ un entier tel que $n>5$.

1. On suppose qu’il existe un entier naturel $m$ tel que $(n-1)!+1=n^{m}$
   1. Montrer que $n$ est un impaire.
   2. Montrer que $(n-1)^{2} /(n-1)!$.
   3. Montrer que $(n-1) \mid m$.
   4. En déduire que $n^{m}>(n-1)!+1$.
2. Montrer qu’il n’existe pas d’entiers naturels tel que : $(n-1)!+1=n^{m}$.

Soit $n \in \mathbb{N}^{*}-\{1\}$. On pose $M_{n}=2^{n}-1$

1. Montrer que si $M_{n}$ est premier alors $n$ est aussi premier.
2. Soient $p, q \in \mathbb{N}^{*}-\{1\}$ tels que : $p \wedge q=1$
   1. Montrer que: $\left(\exists(x, y) \in \mathbb{N}^{2}\right): p x-q y=1$
   2. Montrer que : $\left(2^{p x}-1\right)-2\left(2^{p y}-1\right)=1$
   3. En déduire que : $M_{p} \wedge M_{q}=1$

On considère dans $\mathbb{N}^{2}$ l’équation $x^{2}+3=2^{y}$. Soit $(x, y)$ une solution de cette équation.

1. Montrer que $x$ est impaire.
2. Montrer que $x^{2} \equiv 1[8]$.
3. En déduire les solutions de cette équation.

On considère dans $\mathbb{N}^{3}$ l’équation $\,(E):\,\,\, x^{2}+2 y^{2}=z^{2}$

1. 1. Montrer que : $(\forall m, n \in \mathbb{N}): m^{2} \mid n^{2} \Rightarrow m \mid n$.
   2. Montrer qu’il suffit d’étudier le cas ou $x \wedge y=1$.Dans la suite on suppose que $x \wedge y=1$ dans l’équation $(E)$.
   1. Montrer que si $(x, y, z)$ est solution de l’équation $(E)$ alors $x$ et $z$ sont impaires et $y$ paire.
   2. On pose $d=(z-x) \wedge(z+x)$. Montrer que d est paire et en déduire que $d=2$.
   3. Montrer que si $a^{2}=b c$ et $c \wedge b=1$ alors il existe $b^{\prime}$ et $c^{\prime}$ tels que $b=b^{\prime 2}$ et $c=c^{2}$.
2. Soit $\alpha$ et $\beta \in \mathbb{N}$ tels que $3-x=2 \alpha$ et $3-x=2 \alpha$.
   Montrer que $\alpha$ ou $\beta$ est paire , en déduire les solutions de l’équation $(E)$.

Pour tout $n \in \mathbb{N}^{*}$ on pose $x_{n}=2^{n}-1$.
Partie I :

1. 1. Montrer que $\left(\forall n \in \mathbb{N}^{*}\right): x_{n+1}=2 x_{n}+1$
   2. En déduire que : $\left(\forall n \in \mathbb{N}^{*}\right): x_{n+1} \wedge x_{n}=1$
   1. Montrer que : $n \equiv 0[6] \Leftrightarrow x_{n} \equiv 0[9]$ (Remarquer que : $2^{6} \equiv 1[9]$)
   2. En déduire qu’il existe une infinité de nombres $n \in \mathbb{N}^{*}$ tels que $n \wedge x_{n} \neq 1$.
   1. Montrer que $\left(\forall(n, m) \in \mathbb{N}^{* 2}\right): n \mid m \Rightarrow x_{n} \mid x_{m}$
   2. Soient $m, n \in \mathbb{N}^{*}$. Montrer que si $r$ est le reste de la division euclidienne de $m$ sur $n$ alors $x_{r}$ est le reste de la division euclidienne de $x_{m}$ sur $x_{n}$. (Remarquer que : $2^{n} \equiv 1\left[x_{n}\right]$).
   3. En déduire que $x_{m} \wedge x_{n}=x_{n} \wedge x_{r}$.
   4. Montrer en utilisant l’algorithme d’Euclide que: $\left(\forall(m, n) \in \mathbb{N}^{* 2}\right): x_{m} \wedge x_{n}=x_{m \wedge n}$

Partie II :
Dans la suite en veut monter que $\left(\forall k \in \mathbb{N}^{*}\right)(\exists i \in\{1,2,3, \ldots . ., 2 k\}): 2 k+1 \mid x_{i}$.
On suppose le contraire c.à $d \quad\left(\exists k \in \mathbb{N}^{*}\right)(\forall i \in\{1,2,3, \ldots ., 2 k\}): x_{i} \neq 0[2 k+1]$
Et soit $R_{i}$ le reste de la division euclidienne de $x_{i}$ par $2 k+1$.

1. Montrer que : $(\forall i \in\{1,2,3, \ldots \ldots, 2 k\}): 1 \leq R_{i} \leq 2 k$.
   1. Montrer que : $x_{i} \equiv 2 k[2 k+1] \Leftrightarrow 2^{i} \equiv 0[2 k+1]$
   2. En déduire que : $(\forall i \in\{1,2,3, \ldots . ., 2 k\}): R_{i} \neq 2 k$.
2. Montrer que les restes $R_{i}$ sont distincts deux à deux.
3. Conclure.

1. Soient $a, b, c, d \in \mathbb{N}^{*}$. Montrer que : \[d = a \wedge b \Rightarrow \left( {\exists \left( {u,v} \right) \in \mathbb{N}} \right):d = au – bv\]
2. Soient $m, n, p \in \mathbb{N}^{*}$ tels que $2^{m} \equiv 1[p]$ et $2^{n} \equiv 1[p]$. Montrer que $2^{m \wedge n} \equiv 1[p]$.

1. Soient $a, b, c \in \mathbb{Z}$ tel que : $a \wedge b=1$. Trouver un nombre $x$ tel que : $(a+b x) \wedge c=1$
2. Résoudre dans $\mathbb{Z}^{2}$ l’équation $(a \wedge b)+(a \vee b)=b+9$
3. On suppose ici que a divise $b$. Montrer que $b \wedge c=(a \wedge c)\left[\dfrac{c}{a \wedge c} \wedge \dfrac{b}{a}\right]$ et $(a \vee c) \dfrac{b}{a}=(b \vee c)\left[\dfrac{c}{a \wedge c} \wedge \dfrac{b}{a}\right]$

Dans le système de numération de base $a$, on donne l’écriture des naturels $x, y$ et $z$ : $$x=\overline{111},\,\,\, y=\overline{114} \text{ et } z=\overline{13054}$$

1. Écrivez dans ce même système de numération les naturels $x+y$ et $x+z$.
2. Déterminez $a$ sachant que $z$ est le produit de $x$ et $y$.

On veut déterminer les chiffres $x, y$ et $z$ pour lesquels $x y z_{12}=x y z 0_{5}$.

1. Quelles inégalités larges à propos des entiers $x$, $y$ et $z$ pouvez-vous écrire d’emblée?
2. Montrez que l’égalité à obtenir équivaut à $19 x-13 y=4 z$.
3. Grâce à l’algorithme d’Euclide, déterminez des naturels $X$ et $Y$ tels que $19 X-13 Y=1$.
4. Prouvez que si des entiers $x$, $y$ et $z$ vérifient $19 x-13 y=4 z$, il existe un entier $k$ tel que : $x=-8 z+13k$ et $y=-12 z+19 k$.
5. Montrez que dans les égalités du $4)$, on ne peut pas avoir $k \leq 0$.
6. Quelle est la plus grande valeur possible pour $x+8z$? En déduire qu’on a nécessairement $k \leq 2$.
7. Montrez que dans la division euclidienne de $19k$ par 12, $y$ est le reste et $z$ est le quotient.
8. Concluez.
   

Soit $z \in \mathbb{C}$ tel que $|z|=1$ et $z^{2} \neq 1$. Montrer que le nombre $\dfrac{z^{2}+1}{z^{2}-1}$ est imaginaire pure.

Soit $z \in \mathbb{C}-\{-i\}.$ Montrer que : $\operatorname{Im}(z) > 0 \Leftrightarrow\left|\dfrac{z-i}{z+i}\right|<1$

Soient $a$, $b$ et $c$ trois nombres complexes tels que : $|a|=|b|=|c|=1.$

1. Montrer que : $\left|\dfrac{a-b}{1-a \bar{b}}\right|=1.$
2. Montrer que : $\left|a b+b c+c a\right|=\left|a+b+c\right|.$

1. Montrer que : $$(\forall z \in \mathbb{C}),\,\,|z+1|=|z|+1 \Leftrightarrow z \in \mathbb{R}^{+}.$$
2. Montrer que : $\left(\forall\left(z, z^{\prime}\right) \in \mathbb{C}^{2}\right),$ $$\left|z+z^{\prime}\right|=|z|+z^{\prime} \mid \Leftrightarrow\left(\exists \alpha \in \mathbb{R}^{+}\right):\left(z=\alpha z^{\prime}\right. \text{ ou } \left. z^{\prime}=\alpha_{z}\right)$$

Pour tout $z \neq 1$ on pose $z^{\prime}=\dfrac{z-1}{1-\bar{z}}$ et on considère les points $M(z)$ et $M^{\prime}\left(z^{\prime}\right).$

1. Montrer que $\left|z^{\prime}\right|=1$, $\dfrac{z^{\prime}-1}{z-1}$ est réel et $\dfrac{z^{\prime}+1}{z-1}$ est imaginaire pure.
2. En déduire une construction géométrique du pont $M^\prime$ à partir du point $M.$

Pour tout $z \neq i$ on pose $f(z)=\dfrac{\bar{z}}{1-i \bar{z}}$

1. Montrer que : $$f(z) \in \mathbb{R} \Leftrightarrow|z|^{2}-\operatorname{Im}(z)=0.$$
2. Déterminer la nature des deux ensembles : $E=\{M(z) \in P / f(z) \in \mathbb{R}\}$ et $F=\{M(z) \in P / f(z) \in i\mathbb{R}\}$
3. On considère les points $A(i), M(z), M^{\prime}(f(z))$
   1. Montrer que : $f(z)-i=\dfrac{-i}{1-i \bar{z}}.$ En déduire l’ensemble $G=\{M(z) \in P /|f(z)-i|=2\}$
   2. Montrer que $f(z)-i=\dfrac{1}{|1-i \bar{z}|^{2}}(z-i).$ En déduire un mesure de l’angle $\left( {\widehat {\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {AM’} }} \right)$

Soit $A$, $B$ et $C$ trois points distincts du plan complexe d’affixes $a$, $b$ et $c$.
Montrer que les trois propositions suivantes sont équivalentes :

1. ABC est un triangle équilatéral.
2. $j$ ou $j^{2}$ est solution de l’équation $a z^{2}+b z+c=0$.
3. $a^{2}+b^{2}+c^{2}=ab+bc+ca$

Application : Soit $ABC$ un triangle du plan affine euclidien. On construit, à l’extérieur de ce triangle, les trois triangles équilatéraux de bases $A B$, $B C$, $C A$. Montrer que les centres de gravité de ces trois triangles forment un triangle équilatéral.

1. Soit $(\mathscr{C})$ le cercle de centre $A\left(z_{0}\right)$ et de rayon $R$. Montrer que $(\mathcal{C})$ est l’ensemble des points $M\left(z_{0}\right)$ tels que: $z \bar{z}-\bar{z}_{0} z-z_{0} \bar{z}+z_{0} \bar{z}_{0}-R^{2}=0$
2. Réciproquement, soient $c \in \mathbb{C}$ et $\gamma \in \mathbb{R}$. Quel est l’ensemble des points $M(z)$ tels que $z \bar{z}-\bar{cz}-c \bar{z}+\gamma=0.$
3. Application : Soient $\theta \in\mathbb{R}$ et $(a, b) \in \mathbb{C}^{2}$ avec $a \neq b$. On considère les points $A(a)$ et $B(b).$
   Trouver l’ensemble des points $M$ tels que $(\overline{\overrightarrow{M A}, \overrightarrow{M B}}) \equiv \theta[\pi]$

Soient $u, v, w$ trois nombres complexes unitaires tels que $u+v+w=0$.

1. Montrer que $\operatorname{Re}(v \bar{w})=\dfrac{-1}{2}$. En déduire la valeur de $v \bar{w}$.
2. Montrer que : $u=j v=j^{2} w$ ou $u=j w=j^{2} v$.

On pose $u=e^{\frac{2 i \pi}{7}},$  $S=u+u^{2}+u^{4}$ et $T=u^{3}+u^{5}+u^{6}$

1. Montrer que $S$ et $T$ sont conjugués et $\operatorname{Im}(S)>0$.
2. Calculer : $S+T$ et $S T$. En déduire $S$ et $T.$
3. Calculer : $\dfrac{u}{1+u^{2}}+\dfrac{u^{2}}{1+u^{4}}+\dfrac{u^{3}}{1+u^{6}}$
4. En déduire la valeur de : $\dfrac{1}{\cos \dfrac{2 \pi}{7}}+\dfrac{1}{\cos \dfrac{4 \pi}{7}}+\dfrac{1}{\cos \dfrac{6 \pi}{7}}.$

1. Résoudre dans $\mathbb{C}$ l’équation $z^{2}+z+1=0$
2. Pour tout $z=e^{i \theta}$ avec $-\pi \leq \theta \leq \pi$ et $\theta \neq \dfrac{2 \pi}{3}$ et $\theta \neq-\dfrac{2 \pi}{3}$, on pose $z^{\prime}=\dfrac{1}{z^{2}+z+1}$.
   1. Montrer que : $z^{2}+z+1=z(1+z+\bar{z}).$
   2. Calculer le module et l’argument $z^\prime$ en fonction de $\theta$.
   3. On pose $z^{\prime}=x+iy$ avec $x$ et $y$ deux nombres réels. Montrer que : $x^{2}+y^{2}=(1-2 x)^{2}.$
   4. En déduire que le point $M$ d’affixe $z^\prime$ appartient à une hyperbole dont on déterminera le centre les sommets et les asymptotes.

Soit $a$ un nombre complexe dont la forme algébrique est $a=\alpha+i \beta$.

1. Déterminer la nature de $(H)=\left\{M(z) / z^{2}-(\bar{z})^{2}=a^{2}-(\bar{a})^{2}\right\}$ et tracer $(H)$ pour $a=1+i.$
2. Déterminer la nature de $(C)=\{M(z) /(z-a)(\bar{z}-\bar{a})=4 a \bar{a}\}$ et tracer $(C)$ pour $a=1+i.$
3. On considère dans $\mathbb{C}$ le système $(S):\left\{\begin{array}{l}z^{2}-(\bar{z})^{2}=a^{2}-(\bar{a})^{2} \\ (z-a)(\bar{z}-\bar{a})=4 a \bar{a}\end{array}\right.$ et on pose $u=z-a.$
4. Montrer que le système est équivalent au système $(S^\prime) :\left\{\begin{array}{l}u \bar{u}=4 a \bar{a} \\ (u+2 a)\left(u^{3}-8 a(\bar{a})^{2}\right)=0\end{array}\right.$
5. On pose $a=r e^{i \theta}$ avec $r>0$ et $-\pi<\theta \leq \pi$. Déterminer en fonction de $r$ et $\theta$ les affixes des point d’intersection de $(C)$ et $(H)$.
6. Montrer que l’intersection de $(C)$ et $(H)$ contient trois points sommets d’un triangle équilatéral.

Résoudre dans $\mathbb{C}$ l’équation $\left(z^{2}+1\right)^{n}+(z-i)^{2 n}=0$

Soit $(a, b) \in \mathbb{R}^{2}$ avec $a \neq b.$

1. Résoudre dans $\mathbb{C}$ l’équation $(z-b)^{n}-(z-a)^{n}=0.$
2. Prouver que les solutions sont affixes de points alignés.
3. On considère le nombre complexe $a=e^{\frac{2 i \pi}{5}}$. On note $I, A, B, C, D$ les points du plan complexe d’affixes $1, a, a^{2}, a^{3}, a^{4}$.
   1. Vérifier que $a^{5}=1$ et montrer que $I A=A B=B C=C D=D I$.
   2. Placer les points $I, A, B, C, D$ dans le plan complexe (unité: $4cm$).
   1. Vérifier que, pour tout nombre complexe $z$ : $$z^{5}-1=(z-1)\left(1+z+z^{2}+z^{3}+z^{4}\right)$$
   2. En déduire que : \begin{align}1+a+a^{2}+a^{3}+a^{4}=0\end{align}
   3. Montrer que $a^{3}=\overline{a}^{2}$ et que $a^{4}=\overline{a}$ et en déduire que: $$(a+\overline{a})^{2}+(a+\overline{a})-1=0 \quad(2)$$
   4. Résoudre l’équation: $4 x^{2}+2 x-1=0$ et en déduire, à partir de $(2)$, la valeur exacte de $\cos \left(\dfrac{2 \pi}{5}\right)$.

1. Montrer que $(\forall z \in \mathbb{C}-\{-1\}):$ $$|z|=1 \Leftrightarrow(\exists \alpha \in \mathbb{R}),\,\,\, z=\frac{1+i \alpha}{1-i \alpha}$$
2. Soit $a \in \mathbb{C}, n \in \mathbb{N}^{*}$, montrer qu’une condition nécessaire et suffisante pour que l’équation $\left(\dfrac{1+i x}{1-i x}\right)^{n}=a$ ait des solutions réelles est que $|a|=1.$

Soit $a, b, c \in \mathbb{C}$ tel que $|a|=|b|=|c|=1$ et $a \neq c$ et $b \neq c$.
Montrer que : $$\,\arg \left(\frac{c-b}{c-a}\right) \equiv \frac{1}{2} \arg \left(\frac{b}{a}\right)[2 \pi]$$

Soit $n \in \mathbb{N}^{*}$. Pour chaque $k \in\{0,1,2, \ldots \ldots, 2 n-1\},$ on pose $z_{k}=e^{i \frac{k \pi}{n}}$

1. Montrer que  : $(\forall k \in\{0,1,2, \ldots ., 2 n-1\}),\,\,\, \overline{z}_{k}=z_{2 n-k}$
2. En déduire que le nombre $u=\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} z_{k}$ est imaginaire pur.

On considère le système $$(S) : \left\{\begin{array}{l}z^{5}(1-\bar{z})=1 \\ |z|=|z-1|\end{array}\right.$$

1. Montrer que si $z$ est une solution de $(S)$ alors $|z|=|z-1|=1.$
2. En déduire que $z$ est une solution de $(S)$ alors $z=e^{i \frac{\pi}{3}}$ ou $z=e^{-i \frac{\pi}{3}}.$
3. Résoudre dans $\mathbb{C}$ le système $(S).$

Montrer que $(\forall n \in \mathbb{N}):$ $$(1+i \sqrt{3})^{n}+(1-i \sqrt{3})^{n}=2^{n+1} \cos \left(n \frac{\pi}{3}\right)$$

Soit $p$ un nombre complexes de module $1$ on considère l’équation $\left(E_{p}\right): z^{2}-2 p^{2} z-1=0.$

1. Déterminer le nombre complexe $p$ pour que $(E_{p})$ admette une racine double
2. Soit $z_{1}$ et $z_{2}$ les racines de $\left(E_{p}\right)$. On pose $u_{1}=\dfrac{1+z_{1}}{p}$ et $u_{2}=\dfrac{1+z_{2}}{p}$
   1. Calculer $u_{1}+u_{2}$ et $u_{1}u_{2}.$
   2. Montrer que si $u_{1}$ et $u_{2}$ ne sont pas des réels alors $\left|1+z_{1}\right|=\left|1+z_{2}\right|.$
   3. Montrer que si $u_{1}$ et $u_{2}$ sont des réels alors $\arg \left(1+z_{1}\right) \equiv \arg \left(1+z_{2}\right)[2 \pi].$

On appelle birapport des quatre complexes $z_{1}, z_{2}, z_{3}, z_{4}$ rangés dans cet ordre le nombre complexe que l’on note $\beta\left(z_{1}, z_{2}, z_{3}, z_{4}\right)$ et défini par $\beta\left(z_{1}, z_{2}, z_{3}, z_{4}\right)=\dfrac{z_{3}-z_{1}}{z_{3}-z_{2}} \div \dfrac{z_{4}-z_{1}}{z_{4}-z_{2}}.$ Soient $M_{1}, M_{2}, M_{3}, M_{4}$ les points d’affixes $z_{1}, z_{2}, z_{3}, z_{4}$. Déterminer une condition nécessaires et suffisante portant sur $\beta\left(z_{1}, z_{2}, z_{3}, z_{4}\right)$ pour que ces points soient cocycliques ou alignés

Déterminer l’ensemble des points d’affixe $z$ tels que :

1. Les points d’affixe $1, z, \dfrac{1}{z}, 1-z$ soient cocycliques.
2. Les points d’affixe $z, z^{2}, z^{5}$ soient alignés.
3. Les points d’affixe $1, z, z^{3}$ soient alignés.
4. Les points d’affixe $z, 2 z+1, z-1$ forment un triangle isocèle en $M$.
5. Les points d’affixe $1,1+z, 1+z^{2}$ forment un triangle équilateral.

1. Résoudre dans l’équation $(1+i z)^{5}=(1-i z)^{5}.$
2. En déduire $\tan \dfrac{\pi}{5}$ et $\tan \dfrac{2 \pi}{5},$ et les exprimer sous la forme $\sqrt{p + q \sqrt{n}}​,$ où $n, p$ et $q$ sont des éléments de $\mathbb{Z}.$
3. Calculer $\tan \left(\dfrac{\pi}{60}\right).$

On pose $u=e^{\frac{2 i \pi}{5}}$

1. Montrer que $1+u+u^{2}+u^{3}+u^{4}=0$ et exprimer $\cos \left(\dfrac{2 \pi}{5}\right)$ en fonction des puissances de $u$.
2. En déduire que $\cos \left(\dfrac{2 \pi}{5}\right)$ est racine de l’équation $4 x^{2}+2 x-1=0.$
3. Calculer $\cos \left(\frac{2 \pi}{5}\right)$, $\cos \left(\dfrac{4 \pi}{5}\right), \cos \left(\dfrac{6 \pi}{5}\right), \cos \left(\dfrac{8 \pi}{5}\right)$ puis $\cos \left(\dfrac{\pi}{5}\right)$.

En utilisant la formule de Newton déduire les valeurs des sommes : $$
A=\sum_{k=0}^{n} C_{n}^{k} \cos \left(\frac{2 k \pi}{n}\right) \quad \text { et } \quad B=\sum_{k=0}^{n} C_{n}^{k} \sin \left(\frac{2 k \pi}{n}\right)$$

Soit $n \in \mathbb{N}^{*}$ et $\omega=e^{i \frac{2 \pi}{n}}$ pour tout $k \in\{0,1,2, \ldots . ., n-1\}$ on note $A_{k}$ le point d’affixe $\omega^{k}.$

1. Montrer que $A_{k+1}$ est l’image de $A_{k}$ par la rotation $r$ de centre $O$ et d’angle $\dfrac{2 \pi}{n}$.
2. Calculer la somme $S=\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} A_{k} A_{k+1}.$

Soit $\alpha \in \mathbb{R}$ et $m \in \mathbb{C}$. On considère l’équation $(E): z^{2}-m z+e^{i \alpha}=0$ on désigne par $z_{0}$ et $z_{1}$ les solutions de l’équation $(E)$.

1. Montrer que $\arg \left(z_{0}\right) \operatorname{targ}\left(z_{1}\right) \equiv 0[2 \pi]$ et $\left|z_{0}\right|\left|z_{1}\right|=1.$
2. On suppose que $z_{0}=e^{i \theta}$. Donner la forme exponentielle de $m.$

Soit $\alpha \in\left]-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right[.$ On considère l’équation $\left(E_{\alpha}\right): z^{2}-2 z+1+\tan ^{2}(\alpha)=0.$

1. Résoudre dans $\mathbb{C}$ l’équation $\left(E_{\alpha}\right)$ on notera $z_{1}, z_{2}$ ses solutions.
2. Déterminer la forme trigonométrique de $z_{1}$ et $z_{2}$.
3. Soient $M_{1}$ et $M_{2}$ les points images de $z_{1}$ et $z_{2}$ respectivement.
   1. Montrer que $OM_{1}=OM_{2}$.
   2. Déterminer la valeur de $\theta$ pour que le triangle $\left(O M_{1} M_{2}\right)$ soit équilatère directe.

Soit $\left(u_{n}\right)$ la suite définie par $\left\{\begin{array}{l}u_{0}=2 \\ u_{n+1}=u_{n}+\arccos \left(\dfrac{1}{u_{n}}\right)\end{array}\right.$

1. Montrer que $(\forall n \in \mathbb{N}):\,\, u_{n}>1.$
2. Etudier le sens de variation de $\left(u_{n}\right).$
3. Montrer que $(\forall n \in \mathbb{N}):\,\, u_{n}>n \dfrac{\pi}{3}+2$.
4. En déduire que la suite $\left(u_{n}\right)$ n’est pas majorée.

Soit $\left(u_{n}\right)_{n \geqslant 1}$ la suite définie par : $\displaystyle u_{n}=\prod_{k=1}^{n} \cos \left(\dfrac{\alpha}{2^{k}}\right)$

1. Montrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est décroissante et minorée et déduire qu’elle est convergente.
2. Montrer que $(\forall n \geq 1):\,\, u_{n}=\dfrac{\sin (\alpha)}{2^{n} \sin \left(\dfrac{\alpha}{2^{n}}\right)}$ et en déduire la limite de la suite $\left(u_{n}\right).$

Soit $\left(u_{n}\right)_{n \geqslant 1}$ la suite définie par : $\displaystyle\left\{\begin{array}{l}u_{1}=1 \\ u_{n+1}=\dfrac{n+u_{n}}{n^{2}}\end{array}\right.$

1. Montrer que $(\forall n \geq 1): u_{n} \leq 2$. En déduire que $\left(u_{n}\right)$ est convergente et calculer sa limite $\ell.$
2. Montrer que $(\forall n \geq 2): \dfrac{1}{n-1} \leq u_{n} \leq \dfrac{n+1}{(n-1)^{2}}$. En déduire $\lim \left(n u_{n}\right).$
3. On veut étudier la monotonie de la suite $\left(u_{n}\right)$.
   1. Montrer que la suite $\left(v_{n}\right)_{n \geq 2}$ définie par $v_{n}=\dfrac{n}{n^{2}-1}$ est décroissante.
   2. Montrer que pour tout $n \geq 2$, on a $u_{n} \geq v_{n}$.
   3. En déduire que la suite $\left(u_{n}\right)_{n \geqslant 2}$ est décroissante .

Soit $\left(u_{n}\right)_{n \geqslant 1}$ la suite définie par $\displaystyle\left\{\begin{array}{l}u_{1}=2 \\ u_{n+1}=\dfrac{(n+2) u_{n}+2\left(n^{2}+n-1\right)}{(n+1)^{2}}\end{array}\right.$

1. Montrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est décroissante.
2. Montrer que $\left(u_{n}\right)$ est convergente et calculer sa limite $\ell.$
3. Calculer $u_{n+1}-\ell$ en fonction de $u_{n}-\ell$. En déduire $u_{n}$ en fonction de $n.$

Soit $\left(u_{n}\right)$ la suite définie par $\left\{\begin{array}{l}u_{0}=2 \\ u_{n+1}=2 \sqrt[3]{u_{n}}+\dfrac{1}{n+1}\end{array}\right.$

1. Montrer que $(\forall n \in \mathbb{N}): u_{n}>1.$
2. Etudier le sens de variation de $\left(u_{n}\right).$
3. Montrer que $\left(\mathrm{u}_{\mathrm{n}}\right)$ est convergente et donner sa limite.

Soit $\theta \in\left] 0, \dfrac{\pi}{2}\right[$, pour tout $n \in \mathbb{N}$ on pose $u_{n}=2^{n} \sin \left(\dfrac{\theta}{2^{n}}\right)$ et $v_{n}=2^{n} \tan \left(\dfrac{\theta}{2^{n}}\right).$
Montrer que les suites $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ sont adjacentes et déterminer leur limite commune.

Soient $a$ et $b$ deux nombres réels tels que $0 < a < b$. On considère les deux suites $\left(a_{n}\right)_{n \ge 0}$ et $\left(b_{n}\right)_{n \ge 0}$ définies par :
$$\left\{\begin{aligned}& a_{0}=a,\,\,\, b_{0}=b\\ & a_{n+1}=\frac{1}{2}\left(a_{n}+b_{n}\right)\end{aligned}\right.\,\,\,\text { et }\,\,\, b_{n+1}=\sqrt{\frac{1}{2}\left(a_{n}^{2}+b_{n}^{2}\right)}$$

1. Montrer que les suites $\left(a_{n}\right)_{n \ge 0}$ et $\left(b_{n}\right)_{n \ge 0}$ sont convergentes et ont la même limite.
2. Montrer que pour tout $n \geq 0 :$ $$0 \leq b_{n+1}-a_{n+1} \leq \dfrac{1}{8 a}\left(b_{n}-a_{n}\right)^{2}.$$
3. En déduire que pour tout $n \geq 0:$  $$0 \leq b_{n}-a_{n} \leq 8 a\left(\dfrac{b-a}{8 a}\right)^{2^{n}}.$$

Soit $\left(u_{n}\right)_{n \geqslant 1}$ la suite définie par : $$\left\{\begin{array}{l}u_{0}=1 \\ u_{n+1}=u_{n}+\dfrac{1}{u_{n}}\end{array}\right.$$

1. Montrer que $(\forall n \geq 0): u_{n} \geq 1.$
2. Etudier les variations de la suite $\left(u_{n}\right).$
3. Montrer que $(\forall n \geq 1)$ : $2 \leq u_{n}^{2}-u_{n-1}^{2} \leq 2+u_{n}-u_{n-1}$ et $2 n \leq u_{n}^{2}-1 \leq 2 n+u_{n}-1.$
4. En déduire la divergence de la suite $\left(u_{n}\right).$
   en déduire que $\left(u_{n}\right)$ est convergente et calculer sa limite $l.$
5. Montrer que $(\forall n \geq 0): 1-\dfrac{1}{u_{n}} \leq \dfrac{2 n}{u_{n}^{2}} \leq 1-\dfrac{1}{u_{n}^{2}}$. En déduire $\lim \left(\dfrac{1}{\sqrt{2 n}} u_{n}\right).$

Soit $n \in \mathbb{N}^{*}$. On considère la fonction définie sur $\mathbb{R}^{+}$par : $f_{n}(x)=3 x^{n}-x-1$

1. Montrer que $f_{n}$ est croissante sur $\left[\sqrt[n-1]{\dfrac{1}{3 n}},+\infty\right[$ et décroissante sur $\left[0, \sqrt[n-1]{\dfrac{1}{3 n}}\right],$ puis poser le tableau de variation de $f_{n}$.
2. Montrer que l’équation $f_{n}(x)=0$ admet une solution unique $u_{n}$ dans l’intervalle $[0,+\infty[$.
3. Calculer $f_{n}(1)$, en déduire que $\left(\forall n \in \mathbb{N}^{*}\right):\,\,$ $0 < u_{n} < 1$.
   1. Montrer que : $(\forall x \in] 0,1[):\,\, f_{n+1}(x) < f_{n}(x)$
   2. Montrer que $\left(u_{n}\right)$ est croissante, en déduire qu’elle est convergente.
4. On pose $\lim u_{n}=\ell$
   1. Montrer que: $0 \leq \ell \leq 1$
   2. Montrer que: $\left(\forall n \in \mathbb{N}^{*}\right): u_{n} \leq l$ (penser au raisonnement par absurde)
   3. Montrer que : $\ell=1.$  (penser au raisonnement par absurde encore)

On considère la suite $\left(u_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par : $\left\{
\begin{array}{l}
u_{0} \in\ \left]0,1\right[\\
u_{n+1}=u_{n}-u_{n}^{2}
\end{array}\right.$
Et on pose $v_{n}=n u_{n}$

1. 1. Montrer que $(\forall n \in \mathbb{N}):\,\,  0 < u_{n} < \dfrac{1}{n+1}$.
   2. Montrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est croissante.
2. Montrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ converge vers un réel $\lambda$ tel que $0<\lambda \leq 1$
3. Montrer que la suite $w_{n}=n\left(v_{n+1}-v_{n}\right)$ converge vers une limite $\ell$ à déterminer.
   1. Montrer que si $\lambda \neq 1$ alors : $$\left(\exists n_{0} \in \mathbb{N}^{*}\right)(\exists a>0): n>n_{0} \Rightarrow v_{n+1}-v_{n}>\frac{a}{n}$$
   2. En déduire que $\left(\forall n>n_{0}\right): v_{2 n} \rightarrow v_{n}>\dfrac{a}{2}$.
   3. Montrer que $\lim v_{n}=+\infty$.
4. Déterminer $\lim v_{n}$.

Soit $a \in[0,1]$, et soit $\left(u_{n}\right)_{n \geqslant 1}$ la suite définie par $\left\{\begin{array}{l}u_{0}=0 \\ u_{n+1}=u_{n}+\dfrac{1}{2}\left(a^{2}-u_{n}^{2}\right)\end{array}\right.$

1. Soient $x_{n}=a-u_{n}$ et $y_{n}=a+u_{n}$. Trouver des relations liant $x_{n+1}$ et $y_{n+1}$ à $x_{n}$ et $y_{n}.$
2. Montrer que $(\forall n \in \mathbb{N}): x_{n} \geq 0$ et $y_{n} \geq 0$. En déduire la monotonie de la suite $\left(u_{n}\right)$.
3. Montrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est convergente et déterminer sa limite.

Pour tout $n \in \mathbb{N}^{*}$ on définie la fonction $f_{n}$ sur $\mathbb{R}$ par : $f_{n}(x)=\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k x^{k}$.

1. Simplifier l’expression $(1-x)^{2} f_{n}(x)$. En déduire une autre expression de $f_{n}(x)$ pour $x \neq 1$.
2. Pour tout $x \in[0,1]$, On pose $F(x)=\displaystyle\lim _{n \rightarrow+\infty} f_{n}(x).$
   1. Donner l’expression de $F(x)$.
   2. Représenter sur un même graphique, dans l’intervalle $[0,1]$, les fonctions $f_{1}, f_{2}, f_{3}$ et $F$.
3. Montrer que, pour tout $n \in \mathbb{N}^{*}$, l’équation $f_{n}(x)=1$ admet une unique solution, notée $u_{n}$, dans l’intervalle $[0,1]$. Puis calculer $u_{1}$ et $u_{2}.$
4. Etudier le sens de variation de le suite $\left(u_{n}\right)$. En déduire qu’elle converge. On notera $\ell$ sa limite.
5. Montrer que $\left(\forall x \in\left[0, \dfrac{1}{2}\right]\right)\left(\forall n \in \mathbb{N}^{*}\right):\left| F(x)-f_{n}(x)\right| \leq 6 \dfrac{n+1}{2^{n+1}}$.
6. Montrer que $\displaystyle\lim _{n \rightarrow+\infty} f_{n}\left(u_{n}\right)=F(\ell)$. En déduire la valeur de $\ell.$

Pour tout $n \in \mathbb{N}$ on définie la fonction $f_{n}$ sur $\mathbb{R}$ par: $f_{n}(x)=x^{n+1}+x^{n}+\cdots+x-1.$

1. Montrer que l’équation $f_{n}(x)=0$ admet une seule solution dans $[0,1]$, notée $u_{n}$.
2. Montrer que $(\forall n \in \mathbb{N}): f_{n}\left(u_{n+1}\right)<0$. En déduire le sens de variation de $\left(u_{n}\right)$.
3. Calculer la limite de $\left(u_{n}\right)$.
4. Soit $a_{n}=u_{n}-\dfrac{1}{2}$. Montrer que $\lim (n+1) a_{n}=0$. En déduire $\lim 2^{n+2}\left(u_{n}-\dfrac{1}{2}\right).$

On considère la fonction f définie par $\left\{\begin{align*}&f(x)=x \sin \left(\frac{1}{x}\right) &;&\,\, x>0 \\ &f(0)=1 & &\\ &f(x)=x E\left(\frac{1}{x}\right) &;&\,\, x<0\end{align*}\right.$

1. Etudier la continuité de la fonction $f$ en $0$.
2. Calculer $\displaystyle\lim _{|x| \rightarrow+\infty} f(x).$

Etudier la continuité de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$ dans les cas suivants : $$\begin{align}
&\textbf{1.}\quad f(x)=E(x)(x-E(x))
&\textbf{2.}&\quad f(x)=\left|x-2 E\left(\frac{x+1}{2}\right)\right|\\
&\textbf{3.}\quad f(x)= \begin{cases}0 & \text { si } x \in \mathbb{Z}\\ x & \text { si } x \notin \mathbb{Z}\end{cases}
&\textbf{4.}&\quad f(x)= \begin{cases}0 & \text { si } x \in \mathbb{Q} \\ x & \text { si } x \notin \mathbb{Q}\end{cases}\end{align}$$

Soit $f$ une fonction continue sur un segment $[a, b]$.
Montrer qu’il existe $c \in[a, b]$ tel que $2 f(a)+3 f(b)=5 f(c).$

Soient $f$ et $g$ et $h$ trois fonctions continues sur un intervalle $I$ telles que:
$$(\forall x \in I):\,\, g(x) \leq f(x) \leq h(x)$$Montrer que si chacune des deux fonctions $g$ et $h$ admet un point fixe dans $I$ alors $f$ en admet un aussi.

Soit $f, \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ continue telle que $\displaystyle\lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)=-\infty$ et $\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=+\infty$
Montrer que $f$ s’annule. Appliquer ceci aux polynôme de degré impair.

Soit $f$ une fonction continue sur $[0,1]$ telle que $f(0)=f(1)=0,\, (\forall x \in[0,1]):\,\, f(x) \geq 0.$
Montrer que : $\quad(\forall \lambda \in] 0,1[)\left(\exists x_{\lambda} \in[0,1]\right): f\left(x_{\lambda}+\lambda\right)=f\left(x_{\lambda}\right)$.

Soient $f, g:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}$ continues. On suppose que $(\forall x \in[a, b]): f(x)>g(x)>0$
Montrer qu’il existe $k>1$ tel que $f>k g.$

Soient $f, g:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}$ continues. On suppose que $(\forall x \in[a, b])(\exists y \in[a, b])$ tel que  $f(x)=g(y)$.
Montrer qu’il existe $x \in[a, b]$ tel que $f(x)=g(x)$.

Montrer que toute fonction polynôme de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ de degré impaire, s’annule en au moins un point.

Soit $f$ une fonction continue sur un segment $[a, b]$ et $[m, M]$ un segment contenant $f(a)$ et $f(b)$.
Montrer que la courbe représentative de $f$ coupe les diagonales du rectangle $[a, b] \times[m, M].$

1. Montrer que : $\left(\forall n \in \mathbb{N}^{*}\right)\left(\exists!a_{n} \in\right] 0,1[),\,\,\,\, 2 n a_{n} \tan \left(\dfrac{\pi}{2} a_{n}\right)=\pi$
2. Comparer $a_{n}$ et $a_{n+1}.$
3. Montrer que $a_{n}$ est solution de l’équation $2\arctan \left( {\dfrac{\pi }{{2nx}}} \right) – \pi x = 0.$

On considère la fonction $f(x)=\dfrac{4 x}{x^{2}+1}$. Montrer que $f$ est une bijection de $[-1,1]$ vers un intervalle à déterminer puis déterminer $f^{-1}(x).$

Soit $f$ une fonction définie de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ tel que:$$
f \text { continue en } 0 \quad \text { et } \quad\left(\forall(x, y) \in \mathbb{R}^{2}\right): f(x+y)=f(x)+f(y)$$

1. Montrer que $f(0)=0$.
2. Montrer que : $\left(\forall(x, y) \in I R^{2}\right): f(x)=f(x-y)+f(y)$.
3. En déduire que $f$ est continue sur $\mathbb{R}$.

Soit $f$ une fonction définie sur $] 0,+\infty[$. On suppose que $f$ est croissante sur $] 0,+\infty[$ et la fonction $g$ définie par $g(x)=\dfrac{f(x)}{x}$ est décroissante sur $] 0,+\infty[$.

1. Soit $\left.x_{0} \in\right] 0,+\infty\left[\right.$. Montrer que : $$\left(\forall x>x_{0}\right): 0 \leq f(x)-f\left(x_{0}\right) \leq\left(x-x_{0}\right) g\left(x_{0}\right)$$ et
   \[\left( {\forall x < {x_0}} \right):\left( {x -{x_0}} \right)g\left( {{x_0}} \right) \le f(x) -f\left( {{x_0}} \right) \le 0\]
2. Montrer que $f$ est continue sur $] 0,+\infty[$.

Soit $f$ une fonction continue sur $ \left] {a,b} \right[$ tel que : $\left\{\begin{align*}&\lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)=+\infty \\ &\lim _{x \rightarrow b^{-}} f(x)=-\infty\end{align*}\right.$

1. Montrer que : $\exists(\alpha, \beta) \in\left] a, b\right[^{2}/\,\,\, f(\alpha) \cdot f(\beta)<0.$
2. En déduire que l’équation $f(x)=0$ admet au moins une solution dans l’intervalle $] a, b[$.
3. Soit $g$ une fonction continue sur $[a, b]$. Montrer que: $\exists c \in] a, b[/\,\,\, f(c)=g(c)$
4. Montrer que : \[\exists c \in \left] {a,b} \right[/\,\,\,\sqrt {\frac{{b -c}}{{c -a}}} – \sqrt {\frac{{c -a}}{{b -c}}} = \sqrt {\left( {b -c} \right)\left( {c -a} \right)} \]

On considère la fonction $f(x)=(\sqrt[3]{1-x}-1)^{3}+1$.
Montrer que $f$ est une bijection de $]-\infty, 1]$ vers un intervalle à déterminer puis déterminer $f^{-1}(x)$.

On considère la fonction $f(x)=\left(\sqrt{\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{\pi} \arcsin x}-1\right)^{3}$.

1. Déterminer le domaine de définition de $f$.
2. Montrer que $f$ est une bijection de $[-1,1]$ vers un intervalle à déterminer puis déterminer $f^{-1}(x)$.

On considère la fonction $f$ définie par $f(x)=\dfrac{1+\cos x}{\sin x}.$

1. Déterminer le domaine de définition de $f$. est ce que $f$ réalise une bijection de $D_{f}$ vers $\mathbb{R}$?
2. Soit $g$ la restriction de $f$ à $I=\left] 0, \dfrac{\pi}{2}\right]$.
   1. Montrer que $g$ est une bijection de $I$ vers un intervalle $J$ à déterminer.
   2. Déterminer $g^{-1}(x)$.
   3. En déduire que : $(\forall x \in J): \arcsin\left(\dfrac{2 x}{1+x^{2}}\right)=\arccos\left(\dfrac{x^{2}-1}{x^{2}+1}\right)$

Pour tout entier $n$ non nul on considère la fonction $f_{n}$ définie sur $\mathbb{R}^{+}$ par : $f_{n}(x)=\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k x^{k}.$

1. Montrer que pour tout $n \geq 1$ l’équation $f_{n}(x)=1$ admet un unique solution positive que l’on notera $u_{n}$
2. Comparer $u_{n}$ et $u_{n+1}.$

On considère la fonction $f$ définie par : $f(x)=\arcsin \left(\dfrac{2 x}{1+x^{2}}\right).$

1. Déterminer $D_{f}$.
2. Montrer que : $f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}-\pi-2 \arctan x & ; & x \leq-1 \\ 2 \arctan x & ; & -1 \leq x \leq 1 \\ \pi-2 \arctan x & ; & x \geq 1\end{array}\right.$
3. Soit $g$ la restriction de $f$ à $I=[1,+\infty[$.
   Montrer que $g$ est une bijection de $I$ vers un intervalle $J$ à déterminer puis déterminer $g^{-1}(x)$.

On considère la fonction $f$ définie par : $$\left\{\begin{array}{l}f(x)=\arcsin (2 x-1)+\arctan \sqrt{\dfrac{1-x}{x}} ; x \in\left] 0,1\right] \\ f(0)=0\end{array}\right.$$

1. Montrer que : $(\forall x \in] 0,1])\left(\exists \alpha \in\left[0, \dfrac{\pi}{2}\right[\right):\quad x=\cos ^{2} \alpha.$
2. En déduire que $(\forall x \in[0,1]):\quad f(x)=\dfrac{\pi}{2}-\arccos \sqrt{x}.$
3. Que $f$ est une bijection de $[0,1]$ vers un intervalle $J$ à déterminer puis déterminer $f^{-1}(x)$.

On considère la fonction $f$ définie par : $$f(x)=\arctan\left(\dfrac{x-\sqrt{1-x^{2}}}{x+\sqrt{1-x^{2}}}\right)$$

1. Déterminer $D_{f}$.
2. Montrer que : \[
   \left\{
   \begin{aligned}
   &f(x)=\arcsin x+\dfrac{3\pi}{4} &si & & -1\le x\le \dfrac{-\sqrt{2}}{2}\\
   & f(x)=\arcsin x-\dfrac{\pi}{4} &si & & -\dfrac{\sqrt{2}}{2}\le x\le 1
   \end{aligned}
   \right.
   \]

On considère dans $\mathbb{R}$ l’équation suivante : $$(E): \arctan (x+1)+\arctan (x-1)=\dfrac{\pi}{4}$$

1. Montrer que l’équation $( E )$ admet une solution unique dans $\mathbb{R}$ et qu’elle appartient $]0,1[$.
2. Résoudre l’équation $(E)$.
3. En déduire $\tan \left(\dfrac{\pi}{12}\right)$.

On considère la fonction $f_{n}$ définie par : $$f_{n}(x)=\sqrt[n]{\arctan (x)}-\arccos (\sqrt[n]{x})\,\,\text{ où }\,\,\left(n \in \mathbb{N}^{*}\right)$$

1. Montrer que $f_{n}$ est une bijection de $[0,1]$ vers un intervalle $J$ à déterminer.
2. 1. Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}^{*}$, l’équation $f_{n}(x)=0$ admet une unique solution $a_{n}$ dans l’intervalle $] 0,1$.
   2. Montrer que $\left(\forall n \in \mathbb{N}^{*}\right)(\forall x \in] 0,1[$ ): $\sqrt[n]{x}<\sqrt[n+1]{x}$
   3. En déduire que : $\left( {\forall n \in {\mathbb{N}^*}} \right)\left( {\forall x \in \left] {0,1} \right[} \right):{f_n}\left( x \right) < {f_{n + 1}}\left( x \right)$
   4. Comparer $a_n$ et $a_{n+1}$

Soient $a$ et $b$ deux nombres réels tels que : $ab<1$. On pose : $$\alpha=\arctan(a) \quad \text{ et } \quad \beta=\arctan(b)$$

1. Montrer que $\cos (\alpha+\beta)=\cos (\alpha) \cos (\beta)(1-a b)$
2. En déduire que $-\dfrac{\pi}{2}<\alpha+\beta<\dfrac{\pi}{2}$
3. Montrer que : $\arctan(a)+\arctan(b)=\arctan\left(\dfrac{a+b}{1-a b}\right)$
4. Calculer $2 \arctan \left(\dfrac{1}{4}\right)+\arctan \left(\dfrac{1}{7}\right)+2 \arctan \left(\dfrac{1}{13}\right)$