Epreuve de Mathématiques
Session de Mai 2023
Durée : 2 heures

- Déterminer la nature des séries numériques suivantes :
- $\displaystyle\sum_{n \geq 0} \dfrac{3^n}{n^2 + 1}$
$\quad$(On pourra utiliser le critère de D’Alembert). - $\displaystyle\sum_{n \geq 0} \left( \dfrac{2 \sqrt{e^n} + 1}{3 \sqrt{e^n} + 2} \right)^n $
$\quad$(On pourra utiliser le critère de Cauchy).
- $\displaystyle\sum_{n \geq 0} \dfrac{3^n}{n^2 + 1}$
-
- Montrer que la fonction $ x \mapsto \dfrac{\ln(x+1)}{x+1} $ est décroissante sur l’intervalle $ [2, +\infty[ $.
- En déduire la nature de la série $ \displaystyle\sum_{n \geq 2} (-1)^n \dfrac{\ln(n+1)}{n+1} $.
Barème : $(3pts)=(0.75+0.75)+(0.75+0.75)$

On considère l’équation différentielle suivante : $$(E) : y^{\prime\prime} – 6y^\prime + 5y = -4e^x .$$où $ y $ est une fonction de la variable réelle $ x $, deux fois dérivable sur $ \mathbb{R}$.
- Résoudre l’équation différentielle homogène $ (H)\, :\,\,\, y^{\prime\prime} – 6y’ + 5y = 0 $.
- Vérifier que la fonction $ g $ définie par : $ g(x) = xe^x $ est une solution particulière de $ (E) $.
- Déduire la solution générale de l’équation $ (E) $.
- Soient $ f $ la fonction numérique définie sur $ \mathbb{R} $ par : $ f(x) = (x+2)e^x $ et $ (C_f) $ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $ (O, \vec{i}, \vec{j}) $.
- En utilisant une intégration par parties, calculer l’intégrale $ I = \displaystyle\int_0^1 f(x) dx $.
- Déterminer le développement limité de $ f $ à l’ordre 2 au voisinage de 0.
- En déduire l’équation de la tangente $ (T) $ à $ (C_f) $ au point $ A(0, 2) $ et préciser sa position relative par rapport à $ (C_f) $.
Barème : $(7pts)=1+1+1+(1.5+1+1.5)$

On considère l’endomorphisme $f$ de $ \mathbb{R}^2 $ défini par : $ f(x, y) = (5x – 3y, 6x – 4y) $.
Et $ \mathcal{B} = (e_1, e_2) $ la base canonique de $ \mathbb{R}^2 $ (On rappelle que $ e_1 = (1, 0) $ et $ e_2 = (0, 1))$.
- Montrer que la matrice de $f$ dans la base $ \mathcal{B} $ est $ A = \begin{pmatrix} 5 & -3 \\ 6 & -4 \end{pmatrix} $.
- Montrer que le polynôme caractéristique de $A$ est $ P(\lambda) = (\lambda + 1)(\lambda -2) $, puis déduire les valeurs propres $ \lambda_1 $ et $ \lambda_2 $ de la matrice $A$ où $ \lambda_1 < \lambda_2 $.
- Soit $ \mathcal{B}’ = (u_1, u_2) $ où $ u_1 = (1, 2) $ et $ u_2 = (1, 1) $.
- Etablir que $ \mathcal{B}’ $ est une base de $ \mathbb{R}^2 $.
- Vérifier que $ u_1 $ et $ u_2 $ sont des vecteurs propres de $f$ associés respectivement aux valeurs propres $ \lambda_1 $ et $ \lambda_2 $.
- Donner la matrice de passage $P$ de $ \mathcal{B} $ à $ \mathcal{B}’ $ et vérifier que $ P^{-1} = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} $.
- Déterminer la matrice diagonale $ D $ vérifiant $ A = PDP^{-1} $.
- Calculer $ A^n $ en fonction de $n$ pour tout $n \in \mathbb{N} $.
Barème : $(6pts)=0.5+1+(0.5+1)+1+1+1$

Le tableau suivant présente l’évolution du budget publicitaire et du chiffre d’affaire d’une société au cours des $5$ dernières années:
Budget publicitaire en millions de dirhams: $x_i $ | $10$ | $12$ | $14$ | $16$ | $18$ |
Chiffre d’affaire en millions de dirhams: $ y_i $ | $52,5$ | $57,5$ | $70$ | $77,5$ | $92,5$ |
- Déterminer le point moyen $ G $ de cette série statistique.
-
- Calculer le coefficient de corrélation linéaire de cette série statistique.
- Peut-on envisager une relation linéaire entre les deux variables $x$ et $y$ ?
- Montrer que l’équation de la droite de régression linéaire de $y$ en $x$ est : $ y = 5x $.
- Estimer le budget publicitaire lorsque la société aura un chiffre d’affaire de $200$ millions de dirhams.
Barème : $(4pts)=1+(1+0.5)+1+0.5$

On considère la loi $*$ définie sur $\mathbb{R}$ par :
$$ (\forall (x, y) \in \mathbb{R}^2)\, :\,\,\,\, x * y = x + y + \sin(\pi x y) $$
-
- Montrer que la loi $*$ est commutative.
- Montrer que la loi $*$ admet un élément neutre.
- On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x) = 1 + x + \sin(\pi x).$
- Montrer que l’équation $f(x) = 0$ admet au moins deux solutions distinctes $-1$ et $\alpha\in\left[-\dfrac{1}{2}, 0\right]$.
- En déduire que l’élément $1$ admet deux inverses distincts dans $(E, *)$.
- Montrer que la loi $*$ n’est pas associative.

Soit $E$ l’ensemble des fonctions deux fois dérivables sur $\mathbb{R}$ qui vérifient :
$$ (\forall x \in \mathbb{R})\, :\,\,\, \varphi^{\prime\prime}(x) = (1 + x^2) \varphi(x) $$
- Montrer que $(E, +, .)$ est un espace vectoriel réel de dimension finie.
- On considère les fonctions $f$ et $g$ définies sur $\mathbb{R}$ par :
$$ f(x) = e^{\frac{x^2}{2}} \quad \text{ et } \quad g(x) = f(x) \int_0^x \dfrac{1}{(f(t))^2} dt $$- Montrer que $f \in E$.
- Montrer que $g \in E$.
- Soit $h\in E$.
- Montrer que la fonction $h = h’f – hf’$ est constante sur $\mathbb{R}$.
- En déduire que la famille $(f,g)$ est génératrice de $E$.
- Montrer que la famille $\{f, g\}$ est une base de $E$, et déterminer $\dim E$.

Pour tout $q \in \mathbb{Q}$, on considère l’ensemble :
$$ E_q = \left\{ M_{(a,b)} = \begin{pmatrix} a & q b \\ b & a \end{pmatrix} \ \big/ \ (a,b) \in \mathbb{R}^2 \right\} $$
- Montrer que $(E, +, \times)$ est un espace vectoriel réel.
- On pose $I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ et $U = \begin{pmatrix} 0 & q \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$.
Montrer que la famille $\{I, U\}$ est une base de $E$. -
- Montrer que $U^2 = qI$.
- En déduire que $U$ admet un inverse dans $(M_2(\mathbb{R}),\times)$ si et seulement si $q\neq 0$.
- Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}$ : $$U^n = \begin{cases} q^{\frac{n}{2}} I & \text{si } n \text{ est pair} \\ q^{\frac{n-1}{2}} U & \text{si } n \text{ est impair} \end{cases}$$
-
- Montrer que $M_{(a,b)} \times M_{(a’,b’)} = M_{(a a’ + q b b’, a b’ + b a’)}$.
- Montrer que $(E, +, \times)$ est un anneau commutatif et unitaire.
- Montrer que $(E,+,\times)$ est un anneau intègre si et seulement si $q<0$.
- Montrer que $(E, +, \times)$ est un corps si et seulement si $q < 0$. Donner dans ce cas l'inverse de $M_{(a,b)}$.
- On suppose que $q < 0$ et on considère dans $\mathbb{C}$ la loi $*$ définie sur $\mathbb{C}$ par :
$$z * z' = (x x' + q y y') + i (x y' + y x') \,\,\text{ où }\,\, z = x + i y \,\,\text{ et }\,\, z' = x' + i y'$$
- Montrer que $E^*$ est une partie stable de $(E, \times)$, puis en déduire que $\mathbb{C}^*$ est une partie stable de $(\mathbb{C},*)$.
- On considère l’application :
\[\begin{align*}
\varphi\,\,:\,\, &(E^*,\times) \,\,\to \,\,(\mathbb{C}^*,*)\\
&{M_{\left( {a,b} \right)}}\,\,\,\,\,\, \mapsto\,\, a + ib
\end{align*}\]- Montrer que $\varphi$ est un isomorphisme bijectif de $(E^*,\times)$ dans $(\mathbb{C}^*,*)$.
- En déduire que $(E,+,\times)$ est un corps commutatif et déterminer l’inverse de chaque $z$ de $\mathbb{C}^*$.
- Pour tout $n\in\mathbb{N}^*$, calculer : \[{i^{\left( n \right)}} = \underbrace {i*i* \ldots *i}_{n\,\,fois}\]
- Soit $$C(E)=\bigg\{A\in M_2(\mathbb{R})\big/(\forall M\in E): AM=MA \bigg\}$$
- Montrer que $(C(E),+,\times)$ est un anneau commutatif et unitaire.
- Soit $A\in M_2(\mathbb{R})$. Montrer que : \[\bigg[ {\big( {\forall M \in C\left( E \right)} \big)\,\,:\,\,\,\,AM = MA} \bigg] \Leftrightarrow AU = UA\]
- Montrer que : $$\left( {A \in {M_2}\left( R \right)} \right)\,\,:\,\,\,\,\,\,\,AU = UA \Leftrightarrow A \in C\left( E \right)$$
- Déduire l’ensemble $C(E)$.
Durée : 2 heures

On considère les suites $ (I_n)_{n \in \mathbb{N}} $ et $(J_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définies par : $$\begin{aligned}
I_n &= \int_0^1 (1-x)^n e^{-x^2} dx\\
J_n &= \int_0^1 x(1-x)^n e^{-x^2} dx
\end{aligned}$$
- On considère la fonction $f$ définie sur $[0,1]$ par : $ f(x) = x e^{-x^2} $.Étudier les variations de la fonction $f$ et dresser son tableau de variations. $(1pt)$
- Montrer que $ (\forall n \in \mathbb{N}),\,\,\, 0 \leq J_n \leq \dfrac{1}{\sqrt{2e}(n+1)}.$ $(1pt)$
- En déduire que la suite $ (J_n) $ est convergente et calculer sa limite. $(0.5pt)$
- Étudier la monotonie de la suite $(I_n)$. $(1pt)$
- Montrer que : $ (\forall n \in \mathbb{N}),\,\,\, I_n = \dfrac{1}{n+1}-\dfrac{2}{n+1} J_{n+1}.$ $(1pt)$
- En déduire $ \lim I_n $ puis $ \lim nI_n$. $(1pt)$

On considère la fonction $F$ définie par : $ F(x) = \displaystyle\int_0^{\ln x} \dfrac{e^t}{(1+t)^2} dt $
- Montrer que l’ensemble de définition de la fonction $ F $ est $ D_F = \left]\dfrac{1}{e}, +\infty\right[$. $(1pt)$
-
- Montrer que $ \left(\forall x \in \left]\dfrac{1}{e}, 1\right]\right),\,\,\, F(x) \leq x \left( 1 – \dfrac{1}{1 + \ln x} \right) $ $(1pt)$
- En déduire : $ \displaystyle\lim_{x \to \left( \frac{1}{e} \right)^+} F(x) $ $(0.5pt)$
-
- Montrer que : $ F(x) = \displaystyle\dfrac{x}{(1 + \ln x)^2} -1 + 2 \int_0^{\ln x} \dfrac{e^t}{(1+t)^3} dt $ $(1pt)$
- En déduire que $(\forall x\ge 1),\,\,\, F(x) \geq \dfrac{x}{(1 + \ln x)^{2}}-1$ et calculer $ \displaystyle\lim_{x \to +\infty} F(x).$ $(1pt)$
-
- Montrer que la fonction $F$ est dérivable sur $\left]\dfrac{1}{e}, +\infty\right[$ et calculer $F'(x)$. $(1pt)$
- En déduire les variations de la fonction $ F $. $(0.5pt)$

On considère l’équation $$(E)\,\,:\,\,\,\, z^2 + az + b = 0\,\,\,\,\text{ où }\,\,\,\,(a, b) \in \mathbb{C}^{*2}.$$Soient, $z$ et $z’$ les solutions de l’équation $(E)$.
Première partie:
- On suppose que $|z| = |z’| = 1$.
-
- Montrer que $|b| = 1$ et $|a| \leq 2$.
- Montrer que $\left(\forall u, v \in \mathbb{C}^*\right)$ : $$|u + v| = |u| + |v| \iff \text{arg}(u) = \text{arg}(v) [2\pi].$$
- Déduire le cas d’égalité dans l’inégalité $|a| \leq 2$.
-
- Montrer que : $$\dfrac{\left(z + z’\right)^2}{zz’}\in \mathbb{R}_+^{*}. $$
- En déduire que : $$\arg(b) \equiv 2 \arg(a) [2\pi].$$
-
- On suppose que : $\left\{ \begin{aligned}
&\left| b \right| = 1\,\,\,\,\,\,,\,\,\,\,\,\left| a \right| \le 2\\
&\arg \left( b \right) \equiv 2\arg \left( a \right)\left[ {2\pi } \right]
\end{aligned} \right.$- Montrer qu’il existe $\alpha$ de $\mathbb{R}_+^*$ tel que $b=\alpha a^2$ et que $\alpha \ge \dfrac{1}{4}$.
- Calculer $z$ et $z’$ les solutions de l’équation $(E)$ en fonction de $a$ et $\alpha$.
- En déduire que $|z| = |z’| = 1$.
- Conclure.
Deuxième partie:
On suppose dans cette partie que $a \in \mathbb{R}$ et $b = 1$.
L’équation $(E)$ devient $(E)\,:\,\, z^2 + az + 1 = 0$.
On Considère $(\Gamma)$ l’ensemble des points $M$ qui sont les images des solutions de l’équation $(E)$ lorsque lorsque $a$ varie dans $\mathbb{R}$.
- Montrer que :
\[M\left( z \right) \in \left( \Gamma \right) \iff \overline {\left( {\frac{{{z^2} + 1}}{z}} \right)} = \frac{{{z^2} + 1}}{z}.\] - Déduire que l’ensemble $(\Gamma)$ est l’union d’un cercle et d’une droite, et déterminer leurs équations.
Durée : 2 heures

Partie I
Déterminer l’ensemble de définition de la fonction : $(1.5pts)$ \[\varphi (x) = \int_1^{{x^2}} {\frac{{dt}}{{\ln t}}} \]
Partie II
On considère la fonction ${F}$ définie sur $[0, +\infty[$ par :
\[\left\{ \begin{array}{l}
F(x) = \displaystyle\int_1^{{x^2}} {\frac{{dt}}{{\ln t}}} ,\quad x \in ]0,1[ \cup ]1, + \infty [\\
F(0) = 0\,\,\, , \,\,\,F(1) = \ln 2
\end{array} \right.\]
-
- Montrer que $F$ est dérivable sur $]1,+\infty[$ et que $ F'(x) = \dfrac{x-1}{x \ln x}.$ (1pt)
- Montrer que $F$ est dérivable sur $]0,1[$ et calculer $F'(x)$. (1pt)
- En déduire les variations de la fonction $f$ sur chacun des intervalles $]1,+\infty$ et $]0,1[$. (1pt)
-
- Montrer que $ (\forall x > 1) \,: \,\,\, F(x) \geq \dfrac{x^2 -x}{2 \ln x}$. (1pt)
- Calculer la limite $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} F(x)$ et en déduire la nature de la branche infinie au voisinage de $+\infty$. (1pt)
-
- Montrer que : $(1pt)$ \[\left( {\forall x \in \left] {0,1} \right[} \right)\,\,:\,\,\,\,\,\,\,\frac{{x\left( {x – 1} \right)}}{{2\ln x}} \le F(x) \le \frac{{x\left( {x – 1} \right)}}{{\ln x}}\]
- Montrer que la fonction $F$ est continue à droite en $0$. (0.5pt)
- Montrez que la fonction $F$ est dérivable à droite en $0$ et interpréter le résultat obtenu. (0.75pt)
-
- Montrer que : (0.75pt) $$ \left(\forall x \in \left]0,1\right[ \cup \left]1,+\infty\right[\right) \,:\,\,\, \int_x^{x^2} \dfrac{dt}{t\ln t} = \ln 2$$
- Montrer que : $(1pt)$ $$ (\forall x > 1) \,:\,\, x \ln 2 \leq F(x) \leq x^2 \ln 2 $$
- Trouver un encadrement similaire sur l’intervalle $]0,1[$. (0.5pt)
- En déduire que la fonction $F$ est continue en $1$. (0.75pt)
-
- Montrer que : (0.75pt)\[\left( {\forall x > 1} \right)\left( {\exists {c_x} \in \left] {1,x} \right[} \right):\,\,\,\,\,\,F’\left( x \right) = \frac{{F\left( x \right) – F\left( 1 \right)}}{{x – 1}} = F’\left( {{c_x}} \right)\]
- Montrer que $F$ est dérivable en $1$ et que $F'(1) = 1$. (0.75pt)
-
- Dressez le tableau de variations de la fonction $F$. (0.5pt)
- Tracer $(C_F)$ la courbe représentative de $F.$ (0.5pt)
Partie III:
On considère la suite $(v_n)_{n \in \mathbb{N^*}}$ définie par : $$ v_n = \int_{e^n}^{e^{n+1}} \frac{dt}{\ln t} $$
- Montrer en utilisant un changement de variable que : (0.75pt) \[\left( {\forall n \in \mathbb{N}^*} \right),\quad {v_n} = \int_n^{n + 1} {\frac{{{e^t}}}{t}} dt\]
- On considère la fonction $f$ définie sur $]1, +\infty[$ par : $f(x) = \dfrac{e^x}{x}$.
- Montrer que $f$ est strictement croissante sur $]1, +\infty[$. (0.5pt)
- Montrer que : (0.75pt) \[\left( {\forall n \in\mathbb{N}^*} \right),\quad \frac{{{e^n}}}{n} \le \int_n^{n + 1} f (t)dt \le \frac{{{e^{n + 1}}}}{{n + 1}}\]
- Montrer que l’équation $\dfrac{e^x}{x}=\displaystyle\int_n^{n+1}f(t)dt$ admet une solution unique dans l’intervalle $[n,n+1]$. (0.75pt)
- Montrer que $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \frac{u_n}{n} = 1.$ (0.5pt)
-
- Montrer que $(\forall n\in\mathbb{N}^*)$: (0.75pt) $$ 0 \leq \int_n^{n+1} \frac{e^t}{t^2} dt \leq \frac{1}{n} \int_n^{n+1} \frac{e^t}{t} dt $$
- En déduire que : (0.5pt)\[\displaystyle\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{\displaystyle\int_n^{n + 1} {\frac{{{e^t}}}{{{t^2}}}dt} }}{{\displaystyle\int_n^{n + 1} {\frac{{{e^t}}}{t}dt} }} = 0\]
- Montrer en utilisant une intégration par parties que : (0.75pt) \[\left( {\forall n \in {\mathbb{N}^*}} \right),\quad \int_n^{n + 1} {\frac{{{e^t}}}{t}} dt = \frac{{{e^n}}}{n}\left( {\frac{{ne}}{{n + 1}} – 1} \right) + \int_n^{n + 1} {\frac{{{e^t}}}{{{t^2}}}} dt\]
- En déduire que : (0.75pt) $$ \lim (u_n-n) = \ln(e-1)$$
Durée : 2 heures

On considère la fonction $f$ définie par :
{f\left( x \right) = {x^2}\arctan \left( {\dfrac{1}{{x + 1}}} \right)}&;&{x \ge 0}\\
{}&{}&{}\\
{f\left( x \right) = \arctan \left( {\sqrt[3]{{\arctan x – x}}} \right)}&;&{x < 0}
\end{array}} \right.$
Soit $(C_f)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $\left( {O,\overrightarrow i ,\overrightarrow j } \right)$
-
- Montrer que : $\left( {\forall x < 0} \right)\,\,;\,\,\,\arctan \left( x \right) – x > 0$. (0.75)
(0,75) - En déduire que la fonction $f$ est définie sur $\mathbb{R}$. (0.5pt)
(0,5)
- Montrer que : $\left( {\forall x < 0} \right)\,\,;\,\,\,\dfrac{{{x^5}}}{5} < \arctan \left( x \right) – x + \dfrac{{{x^3}}}{3} < 0$
(1,5) - Calculer : $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ – }} \dfrac{{\arctan \left( x \right) – x}}{{{x^3}}}$
(0,75) - Étudier la dérivabilité de $f$ à gauche en $0$, puis interpréter graphiquement le résultat obtenu.(1)
- Étudier la dérivabilité de $f$ à droite en $0$, puis interpréter graphiquement le résultat obtenu.(1,5)
- Montrer que : $\left( {\forall x < 0} \right)\,\,;\,\,\,\arctan \left( x \right) – x > 0$. (0.75)
- Calculer $\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } f\left( x \right)$, puis interpréter graphiquement le résultat obtenu.(0,75)
- Calculer $\mathop {\lim }\limits_{x \to +\infty } f\left( x \right)$
(1) - Montrer que : $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \dfrac{{\arctan \left( x \right) – x}}{{{x^2}}} = 0$
(Utiliser la question 2a)
(1) - Montrer que : $$\left( {\forall x > 0} \right)\,\,;\,\,\,\,\,f\left( x \right) – x = \dfrac{{{x^2}}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\left( {\dfrac{{\arctan \left( {\dfrac{1}{{x + 1}}} \right) – \dfrac{1}{{x + 1}}}}{{{{\left( {\dfrac{1}{{x + 1}}} \right)}^2}}}} \right) – \dfrac{x}{{x + 1}}$$
En déduire la nature de la branche infinie au voisinage de $+\infty$.
(0,75)
- Calculer $\mathop {\lim }\limits_{x \to +\infty } f\left( x \right)$
- On considère la fonction $g$ définie sur $]0,+\infty[$ par :
$$g\left( x \right) = 2\arctan \left( {\dfrac{1}{{x + 1}}} \right) – \dfrac{x}{{{x^2} + 2x + 2}}$$- Étudier les variations de la fonction $g$, puis en déduire que $g\left( x \right) > 0$
(1,5) - Étudier les variations de la fonction $f$, puis dresser le tableau de variations de $f$.
(1,5)
- Étudier les variations de la fonction $g$, puis en déduire que $g\left( x \right) > 0$
- Construire la courbe $(C_f)$.
(1)

On considère la fonction $f$ définie sur $\left]0,\dfrac{\pi}{3}\right]$ par :
$f(x)=\dfrac{\sin x}{x}$.
-
- Montrer que : $\left( {\forall x \in \left] {0,\dfrac{\pi }{3}} \right]} \right)\,\,;\,\,\,\,\,x\cos x – \sin x < 0$ (0,75)
- En déduire le sens de variation de $f$. (0,75)
- On considère la fonction $\varphi$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $\varphi \left( x \right) = x\cos x – \sin x + c{x^2}$ où $c=\dfrac{\sqrt{3}}{4}$.
- Calculer $\varphi'(x)$, puis en déduire que : $\left( {\forall x \in \left] {0,\dfrac{\pi }{3}} \right]} \right)\,\,;\,\,\,\,\,\varphi \left( x \right) > 0$. (0,75)
- En déduire que : $\left( {\forall x \in \left] {0,\dfrac{\pi }{3}} \right]} \right)\,\,\,;\,\,\,\left| {f’\left( x \right)} \right| \le c$. (0,75)
- On considère la suite $(u_n)_{n\in \mathbb{N}}$ définie par : $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{u_0} \in \left] {0,\dfrac{\pi }{3}} \right]} \\ {} \\ {{u_{n + 1}} = f\left( {{u_n}} \right)} \end{array}} \right.$
- Montrer que l’équation $\sin x=x^2$ admet une unique solution $\alpha$ dans $\left] {0,\dfrac{\pi }{3}} \right]$. (0,75)
- Montrer que : $\left( {\forall n \in \mathbb{N}} \right)\,\,;\,\,\,\,\,0 < {u_n} \le \dfrac{\pi }{3}$. (0,75)
- En utilisant le théorème des accroissements finis, montrer que :$\left( {\forall n \in \mathbb{N}} \right)\,\,;\,\,\,\,\,\left| {{u_{n + 1}} – \alpha } \right| \le c\left| {{u_n} – \alpha } \right|$. (1)
- En déduire que $(u_n)$ est convergente et calculer $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n}$. (1)

On considère la fonction $f$ définie sur $\left]0,\dfrac{\pi}{3}\right]$ par :
$f(x)=\dfrac{\sin x}{x}$.
-
- Montrer que : $\left( {\forall x \in \left] {0,\dfrac{\pi }{3}} \right]} \right)\,\,;\,\,\,\,\,x\cos x – \sin x < 0$ (0,75)
- En déduire le sens de variation de $f$. (0,75)
- On considère la fonction $\varphi$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $\varphi \left( x \right) = x\cos x – \sin x + c{x^2}$ où $c=\dfrac{\sqrt{3}}{4}$.
- Calculer $\varphi'(x)$, puis en déduire que : $\left( {\forall x \in \left] {0,\dfrac{\pi }{3}} \right]} \right)\,\,;\,\,\,\,\,\varphi \left( x \right) > 0$. (0,75)
- En déduire que : $\left( {\forall x \in \left] {0,\dfrac{\pi }{3}} \right]} \right)\,\,\,;\,\,\,\left| {f’\left( x \right)} \right| \le c$. (0,75)
- On considère la suite $(u_n)_{n\in \mathbb{N}}$ définie par : $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{u_0} \in \left] {0,\dfrac{\pi }{3}} \right]} \\ {} \\ {{u_{n + 1}} = f\left( {{u_n}} \right)} \end{array}} \right.$
- Montrer que l’équation $\sin x=x^2$ admet une unique solution $\alpha$ dans $\left] {0,\dfrac{\pi }{3}} \right]$. (0,75)
- Montrer que : $\left( {\forall n \in \mathbb{N}} \right)\,\,;\,\,\,\,\,0 < {u_n} \le \dfrac{\pi }{3}$. (0,75)
- En utilisant le théorème des accroissements finis, montrer que :
$\left( {\forall n \in \mathbb{N}} \right)\,\,;\,\,\,\,\,\left| {{u_{n + 1}} – \alpha } \right| \le c\left| {{u_n} – \alpha } \right|$. (1)
- En déduire que $(u_n)$ est convergente et calculer $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n}$. (1)
Durée : 2 heures

- Montrer que : $2 \arctan \left( \dfrac{1}{3} \right) + \arctan \left( \dfrac{1}{7} \right) = \dfrac{\pi}{4}$
- Calculer : $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} \dfrac{\sqrt[3]{-x}+x}{\sqrt{-x}+x}$
- Calculer : $\displaystyle\lim_{x \to 1^{-}} \dfrac{\sqrt[3]{1-x}+x^2-1}{x-1}$
- Calculer : $\displaystyle\lim_{x \to 1^{+}} \dfrac{\arctan\left( \sqrt[3]{1-x}\right)}{x-1}$
- Montrer que : $(\forall x<0)\,;\,\,\, \arctan x+\arctan\dfrac{1}{x}=-\dfrac{\pi}{2}$
- En déduire : $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left(2x\arctan\left(1-\sqrt[3]{x} \right)+\pi x\right)$

- Montrer que $(\forall p\in \mathbb{N})$ : \[\arctan \left( p+1 \right) + \arctan \left( p \right) = \arctan \left( \dfrac{1}{p^2+p+1} \right)\]
- On considère la suite $(S_n)_{n\in\mathbb{N}}$ définie par : $$S_n=\sum_{k=0}^{n}\arctan\left(\dfrac{1}{k^2+k+1}\right)$$
Calculer $S_n$ en fonction de $n$ puis calculer $\displaystyle\lim_{n \to \infty} S_n$.

Pour tout entier $n\ge 3$, on considère la fonction $f_n$ définie par $f_n(x) =x^n-2-n(x-1)$.
- Montrer que l’équation $f_n(x)=0$ admet une unique solution $x_n$ dans $[0,1]$.
- Étudier la monotonie de la suite $(x_n)$ et déduire que $(x_n)$ est convergente.
- Montrer que $(\forall n\ge 3)\,:\,\, x_n=\dfrac{n+x_n^n-2}{n}$.
- En déduire un encadrement de $(x_n)$, puis calculer $\lim x_n.$

Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues de $[0,1]$ dans $[0,1]$ telles que $f \circ g = g \circ f$.
Le but de l’exercice est de démontrer qu’il existe $c \in [0,1]$ tel que $f(c) = g(c)$.
- Montrer qu’il existe $s \in [0,1]$ tel que $f(s) = s$.
- Montrer que pour tout $n \ge 0$, $g^n(s) = f(g^n(s))$. (On pourra utiliser un raisonnement par récurrence)
(Où $g^n = \underbrace{g \circ g \circ g \circ \dots \circ g}_{n\,fois}$ pour $n \ge 1$ et $g^0 = Id\, :\, x \to x$)
- On considère la suite $\left( u_n \right)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par : $u_n = g^n(s)$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.
- Vérifier que $f(u_n) = u_n$ et que $u_{n+1} = g(u_n)$.
- Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $0 \le u_n \le 1$.
- On suppose que la suite $(u_n)$ est monotone. Montrer que la suite $(u_n)$ est convergente et que sa limite $\ell$ vérifie $f(\ell) = g(\ell)$.
- On suppose que la suite $(u_n)$ n’est pas monotone. Montrer qu’il existe $(u,v) \in [0,1]^2$ tels que $\left( f(u) – g(u) \right)\left( f(v) – g(v) \right) \le 0$.
- Conclure.

On considère la fonction $g$ définie sur $[0,\pi[$ par : $g(x) = \arctan \left( \sqrt{\dfrac{1-a}{1+a}} \tan \left( \dfrac{x}{2} \right) \right)$.
Soit $f$ une fonction continue sur $[0,\pi]$ telle que : $(\forall x\in [0,\pi[),\,\, f(x)=\pi-2g(x)$
- Calculer $f(\pi)$.
- Montrer que pour tout $x \in ]0,\pi[$ : \[0 < f(x) < \pi\]
- Montrer que pour tout $x \in ]0,\pi[$ : \[\tan \left( \dfrac{f(x)}{2} \right) \tan \left( \dfrac{x}{2} \right) = \sqrt{\dfrac{1+a}{1-a}}\]
- En déduire que pour tout $x\in [0,\pi],\,\,\,f(f(x)) = x$.
- En déduire que la fonction $f$ est une bijection de $[0,\pi]$ vers $[0,\pi]$ et en déduire la bijection réciproque $f^{-1}$.

On considère la fonction $ f(x)=\dfrac{x^{2}+4 x+1}{x^{2}+1} $.
- Montrer que $3$ est le maximum absolu de $f$ atteint en $x=1$.
- Montrer que $-1$ est le minimum absolu de $f$.





On considère la fonction $ f(x)=\dfrac{4 x-3}{x^{2}+1} $.
- Montrer pour tout $ x $ et $ y $ de $\mathbb{R}$ tel que $ x \neq y $, on a : $$ \dfrac{f(x)-f(y)}{x-y}=\dfrac{(2 x+1)(2-y)+(2 y+1)(2-x)}{\left(x^{2}+1\right)\left(y^{2}+1\right)}.$$
- En déduire les variations de $ f $ sur $ [2,+\infty[ $, $ \left[-\dfrac{1}{2}, 2\right] $, et $ \left]-\infty,-\dfrac{1}{2}\right] $.
- Déterminer le maximum et le minimum absolus de $ f $.
- Montrer que $ f\left(\left[2,+\infty\right[\right)=\left] 0,1\right]$.
- On considère la fonction $g(x)=\dfrac{4x-3x^2}{1+x^2}.$
- Montrer que $(\forall x\neq 0)\,:\,\,\, g(x)=f\left(\dfrac{1}{x}\right).$
- En déduire les variations de la fonction $g$ sur chacun des intervalles : \[\left[ {2, + \infty } \right[\,\,,\,\,\left[ {\frac{1}{2},2} \right]\,\,,\,\,\left] {0,\frac{1}{2}} \right]\,\,,\,\,\left[ { – \frac{1}{2},0} \right[\,\,,\,\,\left[ { – 2, – \frac{1}{2}} \right]\,\,,\,\,\left] { – \infty , – 2} \right]\]

On considère les deux fonctions : $f(x)=\sqrt{x+1}$ et $g(x)=-x^3$.
- Construire dans un même repère les courbes $ C_f $ et $ C_g $.
- En déduire que l’équation $ x^{3}+\sqrt{1+x}=0 $ admet une solution unique $ \alpha $ telle que $ -\dfrac{7}{8}<\alpha<-\dfrac{3}{4}.$
- Résoudre dans $ \left[-1,+\infty\right[ $ l’inéquation $ x^{3}+\sqrt{1+x}<0.$
- Déterminer graphiquement $ f\left(\left[-1,2\right]\right) $ et $ f\left(\left[3,+\infty\right[\right).$

On considère les fonctions $ f(x)=\sqrt{x+1} $ et $ g(x)=\dfrac{x+1}{x-2}.$
Déterminer le domaine de définition de $ h=g \circ f $ puis étudier ses variations.

On considère les fonctions $ f(x)=x^{2}-2x $ et $ g(x)=x^{2}-4x+5.$
Étudier les variations de la fonction $ h=g \circ f.$

On considère la fonction $ f(x)=\dfrac{8 x+4}{x^{2}+2 x+1}.$
- Déterminer $ D_f.$
- Montrer que $f$ admet un maximum absolu.
- On considère la fonction $ g(x)=4-x^{2} $.
- Déterminer une fonction $ h $ telle que $ \left(\forall x \in D_f\right)\,: \,\,\,f(x)=g \circ h(x)$.
- En déduire les variations de $f$.

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^{3}+x^{2}+x $.
-
- Montrer que $ \left(\forall (x, y) \in \mathbb{R}^2\right)\,:\,\,\, x^{2}+x(1+y)+y^{2}+y+1 > 0.$
- En déduire que $f $ est croissante sur $ \mathbb{R} $.
- On considère la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}_+^*$ par : $ g(x)=\dfrac{1+x+\sqrt{x}}{x\sqrt{x}} $.
- Montrer que $ \left(\forall x \in \mathbb{R}_+^*\right)\,:\,\,\, g(x)=f\left(\dfrac{1}{\sqrt{x}}\right).$
- En déduire les variations de $g$ sur $ \mathbb{R}_+^*.$

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x)=\sqrt{x+\sqrt{x^{2}+1}}$.
- Déterminer $D_f$.
- Monsrer que $\left(\forall x \in D_f\right)\,:\,\,\, f(-x)=\dfrac{1}{f(x)}$.
- Étudier les variations de $f$ sur $\mathbb{R}^{+}$ puis sur $\mathbb{R}^{-}$.
- Soit $g$ la restriction de $f$ sur $\mathbb{R}^{+}$.
Montrer que $g$ est une bijection de $\mathbb{R}^{+}$ sur $[1,+\infty[$ puis déterminer sa bijection réciproque.

On considère la fonction $f(x)=\dfrac{1}{x+1}\sqrt{x^{2}-1}$.
- Déterminer $D_f$.
- On considère la fonction $g$ définie par : $g(x)=(f(x))^{2}$.Donner le tableau de variation de $g$ puis celui de $f$.

On considère la fonction $f$ définie par : $ f(x)=\dfrac{\sqrt{1+x^{2}}-1}{x} $ pour $ x \neq 0 $ et $ f(0)=0 $.
- Montrer que $ \left(\forall x \in \mathbb{R}\right)\,:\,\, -1 < f(x) <1$.
- Monsrer que $1$ et $-1$ ne sont pas des extremums de la fonction $f$.




On considère la fonction $f$ définie sur $]0,1[$ par : $ f(x)=\left(1+\dfrac{1}{x}\right)\left(1+\dfrac{1}{1-x}\right).$
- Montrer que $ \left(\forall x \in ]0,1[\right)\,:\,\, f(x)=1-\dfrac{2}{x^{2}-x}.$
- Étudier les variations de la fonction $f$ sur chacun des intervalles $\left]0, \dfrac{1}{2}\right[$ et $\left]\dfrac{1}{2},1\right[$.
- Quelle est la valeur maximale que prend le nombre $ A=\left(1+\dfrac{1}{a}\right)\left(1+\dfrac{1}{b}\right)$ lorsque $a$ et $b$ sont des réels strictement positifs vérifiant $a+b=1$?




On considère la fonction définie sur $[1,+\infty[$ par $f(x)=x-1-2 \sqrt{x-1}.$
- Déterminer $A=f^{-1}\left(\left\{-\dfrac{1}{2}\right\}\right)$ et en déduire que $f$ n’est pas injective.
- On considère les deux fonctions $u(x)=x^{2}-2 x$ et $v(x)=\sqrt{x-1}.$
- Montrer que pour tout $x \in[1,+\infty[$, on a : $f(x)=(u \circ v)(x).$
- Étudier les variation de $f$.
- En déduire que $f$ n’est pas surjective de $[1,+\infty[$ vers $\mathbb{R}$.
- Déterminer le maximum absolu de la fonction $g(x)=\dfrac{1}{x}\left(1-2 \sqrt{x-x^{2}}\right)-1$ sur l’intervalle $\left[\dfrac{2}{5}, \dfrac{1}{2}\right]$





On considère la fonction $f(x)=\dfrac{\sqrt{|x|}-2}{\sqrt{|x|}+2}.$
- Déterminer le domaine de définition de $f$ et étudier sa parité.
- Étudier les variations de $f$.
- Montrer que pour tout $x \in \mathbb{R}$, on a : $-1 \leq f(x) < 1.$
- Montrer que $-1$ est le minimum absolu de $f$, et que $f$ n’admet pas de maximum absolu.
- Montrer que $f$ est une bijection de $\mathbb{R}^{+}$ vers $[-1,1[$, puis déterminer sa bijection réciproque.




On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}^{+}$par $f(x)=\dfrac{1+\sqrt{x}}{\sqrt{1+x}}+\sqrt{1+x}.$
- Montrer que $-1$ est le minimum absolu de $f$.
- Montrer que la fonction $f$ n’est pas majorée.

On considère les deux fonctions définies par : $f(x)=x^{2}-2 x+2$ et $g(x)=\sqrt{x-1}+1.$
- Étudier les variations des deux fonctions $f$ et $g$.
- Soit $h$ la restriction de $f$ à l’intervalle $[1,+\infty[$.
- Montrer que $f \circ h$ et $h\circ f$ sont définies sur $[1,+\infty[$.
- Montrer que $f \circ h=h \circ f=Id$.
- En déduire que $f$ et $h$ sont des bijections de $[1,+\infty[$ vers $[1,+\infty[$ et déterminer leur bijection réciproque.

On considère la fonction $f$ définie sur $[0,12]$ par : $f(x)=\sqrt{x}+\sqrt{12-x}.$
-
- Montrer que $(\forall x \in[0,12])\,:\,\,\, 12-x \in[0,12]$ et $f(12-x)=f(x)$.
- Montrer que pour tout $(x, y) \in\mathbb{R}^{2}$ les points $M(x, y)$ et $M(12-x, y)$ son symétriques par rapport à la droite $(D)\,:\,\,\, x=6$.
- En déduire que la droite $(D)\,:\,\,\, x =6$ est un axe de symétrie de la courbe $\left(C_{f}\right)$.
- Étudier les variation de la fonction $f$ sur $[0,6]$ puis sur $[6,12]$.
- En déduire la comparaison des nombres $\sqrt{2}+\sqrt{10}$, $\sqrt{3}+3$ et $\sqrt{5}+\sqrt{7}.$

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}^{+}$ par : $f(x)=E\left(x^{2}\right)-2 E(x).$
-
- Montrer que $\left(\forall x \in\mathbb{R}^{+}\right)\,:\,\,\,(E(x))^{2} \leq E\left(x^{2}\right)$.
- En déduire que $-1$ et le maximum absolu de $f$.
- On pose $x=n+\dfrac{1}{2}$ avec $x \in\mathbb{N}$.
- Calculer $f(x)$ en fonction de $n$.
- En déduire que $f$ n’est pas majorée.

Déterminer les abscisses curvilignes principales des points $A_{1}, A_{2}, A_{3}$ dont l’une des abscisses est respectivement : $\dfrac{37 \pi}{3}, \dfrac{157 \pi}{4},-\dfrac{1115 \pi}{6}$ puis représenter ces points sur le cercle trigonométrique.

Représenter sur le cercle trigonométrique les points dont les abscisses curvilignes sont les nombres de la forme $\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{k \pi}{4}$ Avec $k \in \mathbb{Z}$.

Soit $ABC$ un triangle équilatère tel que $\overline {\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right)} \equiv \dfrac{\pi }{3}[2\pi ]$.
Calculer : \[\overline {\left( {\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BC} } \right)} \quad ,\quad \overline {\left( {\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {CB} } \right)} \quad ,\quad \overline {\left( {\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {BA} } \right)}.\]

Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs non nuls tel que : $(\overline{\vec{u}, \vec{v}}) \equiv \dfrac{3 \pi}{7}[2 \pi].$
Calculer : \[\overline {\left( {\overrightarrow u , – \overrightarrow v } \right)} \quad ,\quad \overline {\left( {\overrightarrow v ,2\overrightarrow u } \right)} \quad ,\quad \overline {\left( {\overrightarrow v , – 3\overrightarrow u } \right)} \quad ,\quad \overline {\left( { – \overrightarrow u , – \overrightarrow v } \right)} .\]





Soit $ABCD$ un parallélogramme, $M$ un point du segment $[AB]$ tel que $(DM)$ est bissectrice la de l’angle $\widehat {{\left( {\overrightarrow {DC} ,\overrightarrow {DA} } \right)}}$, et $N$ un point du segment $[AB]$ tel que $(CN)$ est la bissectrice de l’angle $\widehat {\left( {\overrightarrow {CB} ,\overrightarrow {CN} } \right)}.$
Démontrer que $(CN)$ et $(DM)$ sont perpendiculaires.

Soit $A$ et $B$ deux points du cercle trigonométrique tel que $\overline {\left( {\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OB} } \right)} \equiv \dfrac{\pi}{2}[2 \pi].$
Déterminer le point $M$ du cercle trigonométrique vérifiant:\[\overline {\left( {\overrightarrow {OM} ,\overrightarrow {OA} } \right)} \equiv 2\overline {\left( {\overrightarrow {OB} ,\overrightarrow {OM} } \right)} [2\pi ].\]

Calculer : $$\cos \left(\dfrac{7 \pi}{6}\right)\,\,\, ,\,\,\,\sin \left(\dfrac{176 \pi}{3}\right)\,\,\, ,\,\,\,\cos \left(-\dfrac{139 \pi}{6}\right)\,\,\, ,\,\,\,\tan \left(\dfrac{173 \pi}{4}\right)$$

Soit $U$ le cercle trigonométrique lié au repère orthonormé $(O, \vec{i}, \vec{j})$.
Déterminer les coordonnées des points $A$, $B$, $C$, $D$ dont les abscisses curvilignes sont respectivement : $$\dfrac{37 \pi}{2}\,\, , \,\,\dfrac{117 \pi}{6}\,\, , \,\,\dfrac{-151 \pi}{3}\,\, , \,\, \dfrac{11983 \pi}{4}$$

Soit $x$ un nombre réel. Simplifier les expressions : $$
\begin{aligned}
& A=\sin (x+\pi)+\cos (x-\pi)-\sin (x-7 \pi)+\cos (x-121 \pi) \\
& B=\sin \left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)+\cos \left(x-\dfrac{\pi}{2}\right)+\sin \left(\dfrac{117 \pi}{2}-x\right)-\cos \left(x-\dfrac{119 \pi}{2}\right)
\end{aligned}$$

Soit $A$, $B$, $C$ trois points du cercle trigonométrique d’abscisses curvilignes $\alpha$, $\alpha+\dfrac{2 \pi}{3}$, $\alpha+\dfrac{4 \pi}{3}$ respectivement, avec $\alpha \in \mathbb{R}$.
- Montrer que $ABC$ est un triangle équilatère.
- En déduire que :$$
\begin{aligned}
& \cos (\alpha)+\cos \left(\alpha+\dfrac{2 \pi}{3}\right)+\cos \left(\alpha+\dfrac{4 \pi}{3}\right)=0 \\
& \sin (\alpha)+\sin \left(\alpha+\dfrac{2 \pi}{3}\right)+\sin \left(\alpha+\dfrac{4 \pi}{3}\right)=0
\end{aligned}
$$

Montrer que pour tout réel $x$ on a :$$\begin{array}{l}
\mathbf{1.}\,\,\ \sin ^{4} x+\cos ^{4} x=1-2 \sin ^{2} x \cos ^{2} x\\
\mathbf{2.}\,\,\ (1+\sin x+\cos x)^{2}=2(1+\sin x)(1+\cos x) \\
\mathbf{3.}\,\,\ 2\left(\sin ^{6} x+\cos ^{6} x\right)-3\left(\sin ^{4} x+\cos ^{4} x\right)=-1\\
\mathbf{4.}\,\,\sin ^{3} x+\cos ^{3} x-\sin x \cos x(\sin x+\cos x)=\sin x+\cos x
\end{array}$$

Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes :$$\begin{array}{lll}
\mathbf{1.}\ 2 \cos x+\sqrt{3}=0 &\quad\mathbf{2.}\ 2 \cos x-1=0 &\quad\mathbf{3.}\ \sqrt{2} \sin x-1=0\\
\mathbf{4.}\ \sin x-\cos x=0 &\quad\mathbf{5.}\ \tan x-1=0 &\quad\mathbf{6.}\ \sqrt{3} \tan x+1=0
\end{array}$$

Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes :$$\begin{array}{ll}
\mathbf{1.}\ \tan (3 x)-\tan (x)=0 &\quad\mathbf{2.}\ \tan (3 x)+\tan \left(x-\dfrac{2 \pi}{3}\right)=0\\
\mathbf{3.}\ \tan (x) \tan (4 x)=-1 &\quad\mathbf{4.}\ \cos (2 x)+\cos (3 x)=2\\
\mathbf{5.}\ \cos ^{2}(2 x)+\cos ^{2}(3 x)=1 &
\end{array}$$

Résoudre dans $[0,2 \pi]$ les équations suivantes : :$$\begin{array}{l}
\mathbf{1.}\ \sin \left(x-\dfrac{\pi}{3}\right)+\cos \left(\dfrac{\pi}{4}-x\right)=0\\
\mathbf{2.}\ \sqrt{3} \tan ^{2} x+(\sqrt{3}-1) \tan x-1=0 \\
\mathbf{3.}\ -2 \sin ^{2} x+\cos x+1=0
\end{array}$$

Résoudre dans $\mathbb{R}$ les inéquations suivantes :$$\begin{array}{ll}
\mathbf{1.}\ 2 \cos x-1 \geq 0 &\quad\mathbf{2.}\ 2 \cos x-1<0\\
\mathbf{3.}\ 2 \sin x-\sqrt{3} \geq 0 &\quad\mathbf{4.}\ 2 \sin x+1<0
\end{array}$$

Résoudre dans $\mathbb{R}$ les inéquations suivantes :$$\begin{array}{ll}
\mathbf{1.}\ \sqrt{2} \cos (2 x)+1<0 &\quad\mathbf{2.}\ \cos \left(2 x-\dfrac{\pi}{4}\right) \geq \dfrac{1}{2}\\
\mathbf{3.}\ \tan x-1>0 &\quad\mathbf{4.}\ \tan \left(2 x-\dfrac{\pi}{3}\right)+\sqrt{3} \leq 0
\end{array}$$





Résoudre dans $[-\pi, \pi]$ les inéquations suivantes :$$\begin{array}{ll}
\mathbf{1.}\ 2 \cos (3x)+1>0 &\quad\mathbf{2.}\ \sqrt{2} \sin \left(2 x-\dfrac{\pi}{3}\right)<1\\
\mathbf{3.}\ 2 \cos ^{2} x>1 &\quad\mathbf{4.}\ 2 \sqrt{2} \sin ^{2}x+(\sqrt{2}-2) \sin x-1 \geq 0
\end{array}$$

Résoudre le système suivant :$$
\left\{\begin{array}{l}
2 \sin x=\cos y \\
\sin ^{2} x+\sin ^{2} y+\cos y+\dfrac{3}{4}=0
\end{array}\right.
$$

On considère la fonction $f(x)=\sqrt{1+\cos x}+\sqrt{1-\cos x}$
- Déterminer le domaine de définition de la fonction $f$ et montrer que : $$(\forall x \in \mathbb{R}) \,:\,\,\, f(x+\pi)=f(x).$$
- Montrer que $(f(x))^{2}=2(1+|\sin x|)$ et en déduire que : $$(\forall x \in \mathbb{R})\,:\,\, \sqrt{2} \leq f(x) \leq 2.$$
- Montrer que $f\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)=\sqrt{2} \sqrt{1+|\cos x|}$ puis résoudre dans $[0, \pi]$ l’équation $$f\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)=f(x).$$

Soient $a, b, c$ les longueurs des trois cotés d’un triangle.
Montrer que : $$\left(\forall x \in \mathbb{R}-\left\{\dfrac{k \pi}{2} / k \in \mathbb{Z}\right\}\right);\,\,\,\, a^{2}<\dfrac{b^{2}}{\cos ^{2} x}+\dfrac{c^{2}}{\sin ^{2} x}.$$

Soient $a$, $b$ et $c$ les mesures des trois angles d’un triangle. Montrer ce qui suit : $$\begin{array}{l}
\mathbf{1.}\ \sin b \cdot \cos c+\sin c \cdot \cos b=\sin a \\
\mathbf{2.}\ a=b \cos c+c \cos b\\
\mathbf{3.}\ \tan b+\tan c=\dfrac{\sin a}{\cos b \cos c}
\end{array}$$



- Montrer que si $|a| \leq 1$ et $|b| \leq 1$ alors : $$ab=1 \Leftrightarrow (a=1 \,\,\text{ et }\,\, b=1) \,\,\text{ ou }\,\, (a=-1 \,\,\text{ et }\,\, b=-1)$$
- Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation $\sin (4 x) \sin (6 x)=1.$

Soit $a \in\left] 0, \dfrac{\pi}{2}\right[$ tel que : $\sin (a)=\dfrac{\sqrt{5}-1}{4}$
- Montrer que : $\cos (2a)=\dfrac{1+\sqrt{5}}{4}$ et en déduire $\cos (4a)$.
- Montrer que $a$ est solution de l’équation : $\cos (4x)=\sin (x)$.
- Résoudre dans $[0, \pi]$ l’équation $\cos (4 x)=\sin (x)$ et en déduire la valeur de $a$.




Pour tout $n \in \mathbb{N}$ et $x \in \mathbb{R}$, on pose $S_{n}(x)=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\left(-\dfrac{1}{3}\right)^{k} \cos ^{3}\left(3^{k} x\right).$
- Montrer que pour tout $x \in \mathbb{R}\,:$ $$\cos ^{3}(x)=\dfrac{1}{4}(3 \cos x+\cos 3 x).$$
- Montrer que $(\forall n \in \mathbb{N})(\forall x \in \mathbb{R})\,:$ $$S_{n}(x)=\dfrac{3}{4} \cos x+\dfrac{1}{4}\left(-\dfrac{1}{3}\right)^{n} \cos \left(3^{n+1} x\right)$$

Soit $n \in \mathbb{N}^*$ et $x \in \mathbb{R}-\{2 k \pi / k \in \mathbb{Z}\}$, on pose : $$
S=\cos x+\cos 2 x+\ldots \cos n x$$Démontrer que : $$S=\dfrac{\sin \left(\dfrac{n x}{2}\right) \cos \left((n+1) \dfrac{x}{2}\right)}{\sin \left(\dfrac{x}{2}\right)}$$





- Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation : $\cos 3 \mathrm{x}=\cos 4 \mathrm{x}$.
- Démontrer que pour tout $x\in \mathbb{R}$ : $\left\{\begin{array}{l}\cos 3 x=4 \cos ^{3} x-3 \cos x \\ \cos 4 x=8 \cos ^{4} x-8 \cos ^{2} x+1\end{array}\right.$
- En déduire que les solutions de l’équation : $8 X^{4}-4 X^{3}-8 X^{2}+3 X+1=0$ sont : $1$, $\cos \dfrac{2 \pi}{7}$, $\cos \dfrac{4 \pi}{7}$, $\cos \dfrac{6 \pi}{7}$.
- Factoriser $8X^{4}-4X^{3}-8X^{2}+3X+1$, et en déduire que :$$
\begin{aligned}
& \cos \dfrac{2 \pi}{7} \times \cos \dfrac{4 \pi}{7} \times \cos \dfrac{6 \pi}{7}=\dfrac{1}{8} \\
& \cos \dfrac{2 \pi}{7}+\cos \dfrac{4 \pi}{7}+\cos \dfrac{6 \pi}{7}=-\dfrac{1}{2}
\end{aligned}
$$





- Résoudre dans l’équation : $\cos \left(2 x-\dfrac{\pi}{3}\right)=\sin \left(3 x-\dfrac{\pi}{12}\right)$. Préciser les solutions appartenant à $]-\pi,+\pi[$ et les représenter sur un cercle trigonométrique.
- Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation $\sqrt{2} \sin ^{2} x+3 \cos x-2 \sqrt{2}=0$, puis représenter les solutions sur un cercle trigonométrique.
- Soit $\alpha$ la solution commune aux 1) et 2) et appartenant à $]-\pi,+\pi]$. Exprimer $\cos \alpha$ en fonction de $\cos \dfrac{\alpha}{2}$ et de $\sin \dfrac{\alpha}{2}$. En déduire la valeur exacte de $\cos \dfrac{\pi}{8}$ et de $\sin \dfrac{\pi}{8}$.
- Procéder comme au 3) pour obtenir la valeur exacte de $\cos \dfrac{\pi}{16}$ et $\sin \dfrac{\pi}{16}$. Peut-on faire une conjecture sur l’expression de $\cos \dfrac{\pi}{2^{n}}$ et $\sin \dfrac{\pi}{2^{n}}$ pour $n \geq 2$ et si oui laquelle?

Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes :
$$\begin{array}{ll}
\mathbf{1.}\ \sqrt{2} \sin \left(x-\dfrac{\pi}{3}\right)-\sin x=\cos x &\quad\mathbf{2.}\ \sin 2 x+\cos 2 x=-1\\
\mathbf{3.}\ \tan x=\sin 2 x &\quad\mathbf{4.}\ \sin ^{3} x+\sin 3 x=0\\
\mathbf{5.}\ \sin ^{2} x+\dfrac{5}{2} \cos x=2
\end{array}$$

Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes :
$$\begin{array}{l}
\mathbf{1.}\ (\sqrt{3}-1) \sin ^{2} x-(1+\sqrt{3}) \cos x \sin x+1=0\\
\mathbf{2.}\ \tan x+2 \cos x-2 \sin x=1
\end{array}$$

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation suivante et représenter sur le cercle trigonométrique.$$
2 \sin ^{2} x+\sqrt{3} \sin 2 x=3$$et représenter sur le cercle trigonométrique.





Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes :$$\begin{array}{l}
\mathbf{1.}\ 1+\sin x+\sin 2 x+\sin 3 x=\cos x-\cos 2 x+\cos 3 x \\
\mathbf{2.}\ \tan x+\tan 2 x+\tan 3 x=0\\
\mathbf{3.}\ \sin 5 x-\sin 3 x=\cos 6 x+\cos 2 x\\
\mathbf{4.}\ \tan x=\dfrac{\tan 2 x+1}{\tan 2 x+1}\\
\mathbf{5.}\ \sin (5 x)+\sin x+2 \sin ^{2} x=1
\end{array}$$

Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes :$$\begin{array}{l}
\mathbf{1.}\ \sin a+\sin (a+x)+\sin (a+2 x)+\sin (a+3 x)=0 \text{ avec } \sin a \neq 0 \\
\mathbf{2.}\ \tan (a+x) \tan (a-x)=\dfrac{1-2 \cos (2 a)}{1+2 \cos (2 a)},\,\,\,a\in\mathbb{R}
\end{array}$$




- Montrer que $(\forall x \in \mathbb{R})\,:\,\,\, \cos ^{6} x+\sin ^{6} x=\dfrac{5+3 \cos (4 x)}{8}.$
- Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’inéquation : $\cos ^{6} x+\sin ^{6} x>\dfrac{13}{16}.$

On considère la fonction : $$
g(x)=4 \cos ^{2} x+\sqrt{3} \cos x \sin x+3 \sin ^{2} x-4$$
- Montrer que $(\forall x \in \mathbb{R})\,:\,\,\, g(x)=2 \sin x \cos \left(x+\dfrac{\pi}{6}\right)$
- Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation $g(x)=0$ et représenter les solution sur le cercle trigonométrique.
- Résouder dans $\mathbb{R}$ l’inéquation $g(x) \leq 0$.
- Montrer que : $(\forall x \in \mathbb{R})\,:\,\,\, g(x)=\sin \left(2 x+\dfrac{\pi}{6}\right)-\dfrac{1}{2}.$
- Calculer $g\left(\dfrac{\pi}{12}\right)$ et en déduire les valeurs de $\cos \dfrac{\pi}{12}$ et $\sin \dfrac{\pi}{12}$.

- Montrer que pour tout $x \in \mathbb{R}\,:\,\,\, \sin 3 x=(1+2 \cos 2 x) \sin x.$
- Soit $\alpha \neq k \pi$. Montrer que : $\cos \alpha+\cos 3 \alpha+\cos 5 \alpha=\dfrac{\sin 6 \alpha}{2 \sin \alpha}.$
- En déduire : $S=\cos ^{2} \dfrac{\pi}{14}+\cos ^{2} \dfrac{3 \pi}{14}+\cos ^{2} \dfrac{5 \pi}{14}.$

- Montrer que : $\sin \dfrac{\pi}{9} \sin \dfrac{2 \pi}{9}=\dfrac{1}{2}\left(\cos \dfrac{\pi}{9}-\cos \dfrac{3 \pi}{9}\right)$.
- Montrer que : $\cos \dfrac{\pi}{9} \sin \dfrac{4 \pi}{9}-\cos \dfrac{3 \pi}{9} \sin \dfrac{4 \pi}{9}=\dfrac{\sqrt{3}}{4}.$
- En déduire que : $\sin \dfrac{\pi}{9} \sin \dfrac{2 \pi}{9} \sin \dfrac{3 \pi}{9} \sin \dfrac{4 \pi}{9}=\dfrac{3}{16}.$
- Montrer que : $P=\cos \dfrac{\pi}{9} \cos \dfrac{2 \pi}{9} \cos \dfrac{3 \pi}{9} \cos \dfrac{4 \pi}{9}=\dfrac{1}{16}$.

On considère les nombres :$$\begin{array}{l}
\ A=\cos \dfrac{2 \pi}{7}+\cos \dfrac{4 \pi}{7}+\cos \dfrac{6 \pi}{7} \\
\ B=\cos \dfrac{2 \pi}{7} \cos \dfrac{4 \pi}{7} \cos \dfrac{6 \pi}{7} \\
\ C=\cos \dfrac{2 \pi}{7} \cos \dfrac{4 \pi}{7}+\cos \dfrac{4 \pi}{7} \cos \dfrac{6 \pi}{7}+\cos \dfrac{6 \pi}{7} \cos \dfrac{2 \pi}{7}\end{array}$$
- Montrer que $A=4 B-1$.
- Montrer que $C=A$.
- Calculer $B\sin \dfrac{2 \pi}{7}$ et en déduire les valeurs de $A$, $B$ et $C$.
- En déduire que : $\sin \dfrac{\pi}{7}\sin \dfrac{2 \pi}{7}\sin \dfrac{3 \pi}{7}=\dfrac{\sqrt{7}}{8}$.

Soient $a, b, c, d \in \mathbb{R}$. Montrer ce qui suit :$$\begin{array}{l}
\mathbf{1.}\ \sin a-\sin b+\sin c=4 \sin \dfrac{a}{2} \cos \dfrac{b}{2} \sin \dfrac{c}{2},\text{ avec } a+b+c=\pi.\\
\mathbf{2.}\ \sin (a+c) \sin (a+d)=\sin (b+c) \sin (b+d),\text{ avec } \sin (a+b+c+d)=0.\\
\mathbf{3.}\ 4 \sin \dfrac{a+b}{2} \sin \dfrac{b+c}{2} \sin \dfrac{c+a}{2}=\sin a+\sin b+\sin c-\sin (a+b+c+d)
\end{array}$$

- Montrer que : $$P=\cos \dfrac{\pi}{9} \cos \dfrac{2 \pi}{9} \cos \dfrac{3 \pi}{9} \cos \dfrac{4 \pi}{9}=\dfrac{1}{16}.$$
- Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}$ : \[{P_n} = \cos \left( {\frac{\pi }{{2n + 1}}} \right) \times \cos \left( {\frac{{2\pi }}{{2n + 1}}} \right) \times \cos \left( {\frac{{3\pi }}{{2n + 1}}} \right) \times \cdots \times \cos \left( {\frac{{n\pi }}{{2n + 1}}} \right) = \frac{1}{{{2^n}}}\]

Le plan est nuni d’un repère $(O,\vec{i}, \vec{j}).$
Soit $ABC$ triangle, $I$, $J$, et $K$ sont trois points tels que :
$$\overrightarrow{BI} = \frac{3}{2}\overrightarrow{BC}, \quad \overrightarrow{CJ} = \frac{1}{3}\overrightarrow{CA}, \quad\overrightarrow{AK} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AB}.
$$
- Déterminer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{IJ}$ et $\overrightarrow{IK}$ par rapport à la base $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})$.
- Conclure que les points $I$, $J$, et $K$ sont alignés.

Le plan est muni d’un repère $(O,\vec{i}, \vec{j}).$
- Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(D)$ passant par $A(1,2)$ et de vecteur directeur $\overrightarrow{u}(1,-1)$.
- Soit $(\Delta)$ la droite dont la représentation paramétrique : $$\left\{\begin{aligned}x &= 1 + 2t \\y &= 2 -t\end{aligned}\right.$$
- Trouver un vecteur directeur de la droite $(\Delta)$.
- Déterminer trois points appartenant à $(\Delta)$.
- Déterminer parmi les points $A(3,1)$ et $B(1,-1)$ celui qui appartient à la droite $(\Delta)$.
- Déterminer le point d’intersection des droites $(D)$ et $(\Delta)$.

Le plan est nuni d’un repère $(O,\vec{i}, \vec{j}).$ Soient les points $A(1,-1)$, $B(3,1)$, $C(1,-1)$.
- Déterminer l’équation cartésienne de la droite $D$ passant par $A$ et dirigée par le vecteur $\overrightarrow{u}(1,2)$.
- Déterminer l’équation cartésienne de la droite $(BC)$.
- Étudier l’intersection des deux droites $(BC)$ et $(D)$.
- Donner la représentation paramétrique de la droite $(\Delta)$ passant par $E(-2,1)$ et parallèle à la droite $\,\,(L) :\,\, 2x -y + 1 = 0$.
- Étudier l’intersection des deux droites $(\Delta)$ et $(D)$.

Le plan est nuni d’un repère $(O,\vec{i}, \vec{j}).$ On considère les deux droites : $$(D) \,\,:\,\, x-y = 0 \quad\text{et}\quad (D^\prime) \,\,:\,\, 3x -5y + 6 = 0$$
- Trouver la représentation paramétrique des droites $(D)$ et $(D^\prime)$.
- Déterminer l’équation cartésienne de la droite $(\Delta)$ passant par $B(1,0)$ et parallèle à $(EC)$, où $E(3,3)$ et $C(4,0)$.
- Déterminer les coordonnées du point $I$, intersection des droites $(\Delta)$ et $(D)$, ainsi que les coordonnées du point $J$, intersection des droites $(\Delta)$ et $(D^\prime)$.
- Montrer que $J$ est le milieu du segment $[IB]$.

Le plan est nuni d’un repère $(O,\vec{i}, \vec{j}).$
Considérons la droite $(\Delta) \,\,:\,\, 2x -y + 2 = 0$ et les points $A(3,2)$, $B(4,-2)$, et $C(-2,-2)$.
- Trouver les coordonnées du point d’intersection $I$ de la droite $(\Delta)$ avec l’axe des ordonnées.
- Montrer que les droites $(AI)$ et $(BC)$ sont parallèles.
- Trouver l’équation cartésienne de la droite $(AB)$.
- Montrer que les droites $(\Delta)$ et $(AB)$ se coupent en $E(2,6)$.
- Soit $M_1$ et $M_2$ respectivement les milieux des segments $[AI]$ et $[BC]$.
- Déterminer les coordonnées des points $M_1$ et $M_2$.
- Montrer que les points $E$, $M_1$ et $M_2$ sont alignés.

Le plan est nuni d’un repère $(O,\vec{i}, \vec{j}).$ Considérons les points $A(2,6)$ et $C(4,0)$.
- Déterminer l’équation cartésienne de la droite $(AC)$.
- Considérons la droite $(\Delta_1)$ dont l’une des représentations paramétriques est :$$\left\{\begin{aligned}x &= \frac{11}{2} +\frac{5}{2}t \\y &= \frac{7}{2}+\frac{1}{2}t \\\end{aligned}\right. \quad (t \in \mathbb{R})$$
- Vérifier que l’équation $x-5y + 12 = 0$ est l’équation cartésienne de la droite $(\Delta_1)$.
- Déterminer les coordonnées du point $I$, intersection des droites $(\Delta_1)$ et $(AC)$, et montrer que $I$ est le milieu du segment $[AC]$.
- On considère la droite $(\Delta_2)$ d’équation $x+y=0$, et soit $B$ un point de $(\Delta_1)$ et $D$ un point de $(\Delta_2)$Déterminer les coordonnées des points $B$ et $D$ tels que le quadrilatère $ABCD$ soit un parallélogramme.

(D)\,\,:\,\, \left\{
\begin{aligned}
x &= 1 \\
y &= 2 -t
\end{aligned}
\right. \quad (t \in \mathbb{R})
\quad\text{et}\quad
(D’)\,\,:\,\, y=-2
$$
- Déterminer le point d’intersection de $(D)$ avec l’axe des abscisses.
- Déterminer le point d’intersection de $(D’)$ avec l’axe des ordonnées.
- Déterminer l’équation cartésienne de la droite $(D)$ et une représentation paramétrique de la droite $(D’)$.
- Déterminer les coordonnées du point d’intersection $I$ des droites $(D)$ et $(D’)$.
- Déterminer l’équation cartésienne de la droite $(\Delta)$ passant par $A(-1,1)$ et dirigée par le vecteur $\vec i$.
- Montrer que les droites $(\Delta)$ et $(D)$ sont parallèles.

Soit $MNQ$ un triangle. On associe le plan au repère $(M,\overrightarrow{MN}, \overrightarrow{MQ})$
- Déterminer les coordonnées du point $P$ pour que le quadrilatère $MNPQ$ soit un parallélogramme.
- Déterminer l’équation cartésienne de la droite $(QJ)$ où $J$ est le milieu du segment $[MN]$.
- Considérons la droite $(D)$ passant par $P$ et dirigée par le vecteur $\vec{u}=-2\vec i+\vec j$.Montrer que les droites $(D)$ et $(QJ)$ sont parallèles.

Soit $ABCD$ un trapèze de bases $[AB]$ et $[CD]$ tels que : $\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{CD}$.
On considère le repère $(A,\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD})$.
- Déterminer les coordonnées des points $A$, $B$, $C$ et $D$.
- Déterminer l’équation cartésienne de la droite $(AC)$.
- Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(BD)$.
- Vérifier que le point $L\left(\frac{1}{3},\frac{2}{3}\right) est l’intersection des droites $(AC)$ et $(BD)$.
- Soient $I$ et $J$ les milieux respectif des segments AL et BL. Montrer que CDIJ est un parallèlograme
- Soient $I$ et $J$ les milieux respectifs des segments $[AL]$ et $[BL]$. Montrer que $CDIJ$ est un parallélogramme.

Le plan est nuni d’un repère $(O,\vec{i}, \vec{j}).$ On considére les droites :
\[\begin{align*}
&\left( {{\Delta _m}} \right) &&:\quad \left( {m -1} \right)x + \left( {m -2} \right)y + 3m -5 = 0\\
&\left( D \right) &&:\quad 2x -y + 5 = 0\,\,\,\,\,\,;\,\,\,\,\,\,\\
&\left( {D’} \right)&&:\quad\left\{ \begin{array}{l}
x = 1 -3t\\
y = 2 + t
\end{array} \right.\,\,\,\,\left( {t \in R} \right)
\end{align*}\]
- Déterminer la valeur du paramètre $m$ dans chacun des cas suivants : $(D)\parallel(\Delta_m)$ ; $(D’)\parallel(\Delta_m)$ ; $(O,\vec j)\parallel(\Delta_m)$
- Trouver la valeur de $m$ pour laquelle $A(1,1)$ appartient à $(\Delta_m)$.
- Déterminer l’équation cartésienne de la droite $(L)$ passant par $A$ et parallèle à $(D)$.

On considère le polynôme $P(x) = 2x^3 -x^2 + 3x + 6$
- Montrer que le polynôme $P(x)$ est divisible par $(x+1)$.
- Déterminer le polynôme $Q(x)$ tel que $P(x) = (x+1)Q(x)$.

On considère le polynôme $P(x) = x^3 -3x^2 + x + 2$
- Calculer $P(2)$
- Démontrer qu’il existe un polynôme $Q(x)$ tel que $P(x) = (x-2)Q(x)$ et déterminer $Q(x)$.

On considère le polynôme $P(x) = x^3 + \left(\sqrt{5}-1\right)x^2 -\left( \dfrac{\sqrt{6}}{2} -\sqrt 5\right)x -\dfrac{\sqrt{6}}{2}$
Montrer qu’il existe un polynôme $Q(x)$ tel que $P(x) = (x-1)Q(x)$ et déterminer $Q(x)$.

On considère le polynôme $P(x) = -x^4 + x^3 + 5x^2 -3x -6$
- Calculer $P(2)$ et $P(-1)$ puis factoriser $P(x)$.
- Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’inéquation: $P(x) \ge 0$.
- Résoudre dans $\mathbb{R}^+$ l’équation: $-x^2-x\sqrt x +5x-3\sqrt x-6=0$.
- Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation: $(x-1)^4+|x-1|^3-5(x-1)^2+3|x-1|+6=0$.

On considère le polynôme $P(x) = 2x^3 -7x^2 + 7x -2$
- Calculer $P(2)$.
- Démontrez que si $\alpha$ est une racine de $P(x)$, alors $\dfrac{1}{\alpha}$ est une racine de $P(x)$.
- En déduire une factorisation de $P(x)$.
- Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’inéquation: $P(|x|)\ge 0$.

On considère le polynôme $P(x) = (1 -\alpha)x^3 + \alpha x^2 + 3\alpha x -3$
- Déterminer le nombre $\alpha$ pour que $P(x)$ soit divisible par $(x+1)$.
- Déterminer dans ce cas les nombres $a, b$ et $c$ tels que : $P(x) = (x + 1)(ax^2 + bx + c)$.

On considère le polynôme $P(x) = ax^3 + bx^2 + 2x + 1$
- Déterminer les nombres $a$ et $b$ pour que $1$ et $-1$ soient des racines de $P(x)$.
- On suppose que : $a=-2$ et $b=-1$. Factoriser le polynôme $P(x)$.

On considère le polynôme $P(x) = x^3 -(3 + \alpha)x^2 + (2 + 3\alpha)x -2\alpha$
Calculer $P(\alpha)$ puis factoriser $P(x)$.

Montrer qu’il existe un polynôme $P(x)$ de second degré qui satisfait : $$P(-1)=4\quad,\quad P(1)=3\quad,\quad P(2)=4$$

- Déterminer un polynôme $P(x)$ de second degré tel que : $P(x+1)-P(x)=x$.
- En déduire la somme : $S=1+2+3+\ldots+n$