1. Résolvons l’équation $x + \sqrt 2 = 3\sqrt 2$ :
   $$\begin{aligned}
   & x + \sqrt 2 = 3\sqrt 2 \\
   & x = 3\sqrt 2 -\sqrt 2 \\
   & x = \boxed{2\sqrt 2}
   \end{aligned}$$Donc la solution de cette équation est : $2\sqrt 2$.
2. Résolvons l’équation $4x -5 = x + \frac{1}{2}$ :
   $$\begin{aligned}
   & 4x -5 = x + \frac{1}{2}\\
   & 4x -x = \frac{1}{2} + 5\\
   & 3x = \frac{1}{2} + \frac{{10}}{2}\\
   & 3x = \frac{{11}}{2}\\
   & x = \frac{{11}}{2} \times \frac{1}{3}\\
   & x = \boxed{\frac{{11}}{6}}
   \end{aligned}$$Donc la solution de cette équation est : $\frac{11}{6}$
3. Résolvons l’équation $2x + 1 = \sqrt 3 x + 4$ :
   $$\begin{aligned}
   & 2x + 1 = \sqrt 3 x + 4\\
   & 2x -\sqrt 3 x = 4 -1\\
   & \left( {2 -\sqrt 3 } \right)x = 3\\
   & x = \frac{3}{{2 -\sqrt 3 }}\\
   & x=\boxed{3\left( {2 + \sqrt 3 } \right)}
   \end{aligned}$$Donc la solution de cette équation est : $3\left(2+\sqrt 3\right)$
4. Résolvons l’équation $4x -4\sqrt 7 = x + 2\sqrt 7$ :
   $$\begin{aligned}
   & 4x -4\sqrt 7 = x + 2\sqrt 7 \\
   & 4x -x = 2\sqrt 7 + 4\sqrt 7 \\
   & 3x = 6\sqrt 7 \\
   & x = \boxed{\frac{{6\sqrt 7 }}{3} = 2\sqrt 7}
   \end{aligned}$$Donc la solution de cette équation est : $2\sqrt 7$
5. Résolvons l’équation $2\left( {x + 3} \right) -3x = -4\left( { -x -5} \right)$ :
   $$\begin{aligned}\mathbf 5.\quad
   & 2\left( {x + 3} \right) -3x = -4\left( { -x -5} \right)\\
   & 2x + 6 -3x = 4x + 20\\
   & 2x -3x -4x = 20 -6\\
   & -5x = 14\\
   & x = \frac{{ -14}}{5}
   \end{aligned}$$Donc la solution de cette équation est : $\frac{-14}{5}$
6. Résolvons l’équation $\sqrt 3 \left( {x + \sqrt 3 } \right) = 2\left( {x -\sqrt 3 } \right)$ :
   $$\begin{aligned}\mathbf 6.\quad
   & \sqrt 3 \left( {x + \sqrt 3 } \right) = 2\left( {x -\sqrt 3 } \right)\\
   & \sqrt 3 x + 3 = 2x -2\sqrt 3 \\
   & \sqrt 3 x -2x = -2\sqrt 3 + 3\\
   &\left( {\sqrt 3 -2} \right)x = -2\sqrt 3 + 3\\
   & x = \frac{{ -2\sqrt 3 + 3}}{{\sqrt 3 -2}}\\
   & x = \boxed{2\sqrt 3 -3}
   \end{aligned}$$Donc la solution de cette équation est : $2\sqrt 3 -3$
7. Résolvons l’équation $\frac{x}{2} + \frac{3}{2} = \frac{{2x}}{3} -\frac{5}{2}$ :
   $$\begin{aligned}
   & \frac{x}{2} + \frac{3}{2} = \frac{{2x}}{3} -\frac{5}{2}\\
   & \frac{{3x + 9}}{6} = \frac{{4x -15}}{6}\\
   & 3x + 9 = 4x -15\\
   & 3x -4x = -15 -9\\
   & -x = -24\\
   & x = \boxed{24}
   \end{aligned}$$Donc la solution de cette équation est : $24$
8. Résolvons l’équation $\frac{{x + 1}}{3} = \frac{{2x -4}}{5}$ :
   $$\begin{aligned}
   & \frac{{x + 1}}{3} = \frac{{2x -4}}{5}\\
   & 5\left( {x + 1} \right) = 3\left( {2x -4} \right)\\
   & 5x + 5 = 6x -12\\
   & 5x -6x = -12 -5\\
   & -x = -17\\
   & x = \boxed{17}
   \end{aligned}$$Donc la solution de cette équation est : $17$
9. Résolvons l’équation $\frac{{4 + x}}{3} -\frac{{2x -1}}{8} = \frac{{x + 4}}{4}$ :
   $$\begin{aligned}
   & \frac{{4 + x}}{3} -\frac{{2x -1}}{8} = \frac{{x + 4}}{4}\\
   & \frac{{8\left( {4 + x} \right)-3\left( {2x -1} \right)}}{{24}} = \frac{{6\left( {x + 4} \right)}}{{24}}\\
   & 8\left( {4 + x} \right) -3\left( {2x -1} \right) = 6\left( {x + 4} \right)\\
   & 32 + 8x -6x + 3 = 6x + 24\\
   & 8x -6x -6x = 24 -32 -3\\
   & -4x = -11\\
   & x = \frac{{ -11}}{{ -4}} = \frac{{11}}{4}
   \end{aligned}$$Donc la solution de cette équation est : $\frac{{11}}{4}$

Soit $x$ la masse de Laila (en kg).
Alors la masse de Imad est $x+15$.

On a donc :

$$
x + (x+15) = 135
$$
$$
\begin{aligned}
x + x + 15 &= 135 \\
2x &= 135 – 15 \\
2x &= 120 \\
x &= \frac{120}{2} \\
x &= 60
\end{aligned}
$$

Donc :

• Masse de Laila : $60\ \text{kg}$
• Masse de Imad : $60+15=75\ \text{kg}$

Coût avec le tarif (1) : $C_1=40n. $

Coût avec le tarif (2) : $C_2=360+16n.$

Le tarif (1) est avantageux lorsque $C_1< C_2$. Résolvons :

$$
\begin{aligned}
360+16n & < 40n\\
360 & <40x-16n\\
360 & < 24n\\
\frac{360}{24} & < n \\
15 & < n
\end{aligned}
$$

Comme $n$ est un nombre entier, l’inégalité $15 < n$ signifie : $n \ge 16$.

Vérification :

• Pour $n=15$ : $C_1=40\times15=600$ et $C_2=360+16\times15=600$ → mêmes coûts.
• Pour $n=16$ : $C_1=40\times16=640$ et $C_2=360+16\times16=616$ → l’abonnement est moins cher.

Conclusion : L’abonnement (tarif (2)) devient avantageux à partir de 16 tickets.

1. 1. Montrer que $ABC$ est un triangle rectangle en $A$.Calculons les carrés des longueurs :$$\begin{aligned}
      &AB^2 = 3^2 = 9,\\
      &AC^2 = (\sqrt{3})^2 = 3,\\
      &BC^2 = (2\sqrt{3})^2 = 4\times 3 = 12
      \end{aligned}$$On remarque que : $9 + 3 = 12$, c’est-à-dire : $$AB^2 + AC^2 = 12 = BC^2.$$Par la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $ABC$ est rectangle en $A$.
   2. Calculer $\sin \widehat{ABC}$. Dans le triangle $ABC$ rectangle en $A$, l’angle $\widehat{ABC}$ est un angle aigu en $B$. Le côté opposé à $\widehat{ABC}$ est $AC$ et l’hypoténuse est $BC$. Donc :$$\sin\widehat{ABC}=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}=\dfrac{1}{2}.$$

      Résultat : $\sin\widehat{ABC}=\dfrac{1}{2}$.

2. Soit $M$ le milieu de $[AB]$ et $H$ sa projection orthogonale sur $(BC)$. (Voir la figure)
   
   1. Montrer que : $MH=\dfrac{3}{4}$.

      D’une part, dans le triangle $BHM$ rectangle en $H$, on a :$$\sin \widehat{B} = \dfrac{MH}{BM}.$$

      D’autre part, dans le triangle $ABC$ rectangle en $A$, on a :

      $$\sin \widehat{B} =\dfrac{1}{2}.$$

      On déduit que :

      $$\dfrac{MH}{BM} = \dfrac{1}{2}$$

      Alors : $$MH = \dfrac{BM}{2}.$$

      Or, $M$ est le milieu de $[AB]$, donc :

      $$BM = \dfrac{AB}{2} = \dfrac{3}{2}.$$

      Donc :

      $$MH = \dfrac{\tfrac{3}{2}}{2} = \dfrac{3}{4}.$$

      Conclusion : $MH=\dfrac{3}{4}$. 

   2. Calculer la distance $HB$.

      D’une part, dans le triangle $BHM$ rectangle en $H$, on a :$$\cos \widehat{B} = \dfrac{HB}{BM}.$$

      D’autre part, dans le triangle $ABC$ rectangle en $A$, on a :

      $$\cos \widehat{B} =\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{3}{2\sqrt 3}=\dfrac{\sqrt 3}{2}.$$

      On déduit que :

      $$\dfrac{HB}{BM} = \dfrac{\sqrt 3}{2}$$

      Alors : $$HB = \dfrac{\sqrt 3 BM}{2}=\dfrac{\sqrt 3\times \frac{3}{2}}{2}=\dfrac{3\sqrt 3}{4}.$$

      Conclusion : $HB=\dfrac{3\sqrt 3}{4}$. 

1. 1. Calculons : $EF$ et $FG$.

      Dans le triangle $EFG$ rectangle en $G$, pour l’angle $\widehat{GEF}$, on a :

      $$\cos \widehat{GEF}=\dfrac{EG}{EF}=\dfrac{\sqrt{3}}{EF}$$

      Or $$\cos \widehat{GEF}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$$

      Donc : $$\dfrac{\sqrt{3}}{EF}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$$

      D’où : $$\boxed{EF=3}.$$

      Par Pythagore :

      $$\begin{aligned}
      EF^2&=EG^2+FG^2\\
      FG^2&=EF^2-EG^2\\
      FG^2&=3^2-\sqrt 3^2\\
      FG^2&=9-3\\
      FG^2&=6\\
      FG&=\sqrt{6}.\quad (\text{car } FG > 0)\end{aligned}$$

      Donc : $EF=3$ et $FG=\sqrt{6}$.

   2. On a le triangle $EFG$ est rectangle en $G$, alors :

      $$\begin{aligned}
      \sin\widehat{EFG}&=\dfrac{EG}{EF}=\dfrac{\sqrt{3}}{3},\\
      \cos\widehat{EFG}&=\dfrac{FG}{EF}=\dfrac{\sqrt{6}}{3},\\
      \tan\widehat{EFG}&=\dfrac{EG}{FG}=\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{6}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}.\end{aligned}$$

2. 1. On connaît : $$\sin 30^\circ=\dfrac12,\ \sin 45^\circ=\dfrac{\sqrt{2}}{2},\ \cos 60^\circ=\dfrac12,\ \tan 60^\circ=\sqrt{3}.$$

      Donc :

      $$\begin{aligned}
      U&=\sin 30^\circ-\sin 45^\circ-\cos 60^\circ+\tan 60^\circ\\
      U&=\dfrac12-\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\dfrac12+\sqrt{3}\\
      U&=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\sqrt{3}\\
      U&=\sqrt{3}-\dfrac{\sqrt{2}}{2}.\end{aligned}$$

   2. On sait que :

      $$\tan 15^\circ=\dfrac{1}{\tan 75^\circ}\text{ et } \cos 10^\circ=\sin 80^\circ.$$

      Donc :

      $$\begin{aligned}
      V&=\tan 15^\circ-\dfrac{1}{\tan 75^\circ}-\cos 10^\circ+\sin 80^\circ\\
      V&=\tan 15^\circ-\tan 15^\circ-\sin 80^\circ+\sin 80^\circ\\
      V&=0\end{aligned}$$

3. Comme $\alpha$ est aigu, $\cos\alpha>0$. Alors :

   $$\begin{aligned}
   \cos\alpha &=\sqrt{1-\sin^2\alpha}=\sqrt{1-\dfrac{1}{49}}\\
   &=\sqrt{\dfrac{48}{49}}=\dfrac{\sqrt{48}}{7}=\dfrac{4\sqrt{3}}{7}.\end{aligned}$$

   Et on a :
   $$\tan\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}
   =\dfrac{\tfrac{1}{7}}{\tfrac{4\sqrt{3}}{7}}
   =\dfrac{1}{4\sqrt{3}}
   =\dfrac{\sqrt{3}}{12}.$$

   Donc : $\displaystyle \cos\alpha=\dfrac{4\sqrt{3}}{7}\,\,$ et $\,\,\displaystyle \tan\alpha=\dfrac{\sqrt{3}}{12}$.

1. Dans le cercle, $\widehat{DOC}$ est l’angle au centre associé à l’angle inscrit $\widehat{DBC}$, car ils interceptent le même arc $\overset{\frown}{DC}$.

   Or, dans un cercle, la mesure d’un angle inscrit est égale à la moitié de la mesure de l’angle au centre associé.

   Comme $\widehat{DOC}=100^\circ$, alors :

   $$\widehat{DBC}=\dfrac{\widehat{DOC}}{2}=\dfrac{100^\circ}{2}=\boxed{50^\circ}$$

2. L’angle convexe $\widehat{DOB}$ est l’angle au centre associé à l’angle inscrit $\widehat{DAB}$, car ils interceptent le même arc $\overset{\frown}{DB}$.

   Comme $\widehat{DAB}=70^\circ$, alors :

   $$\widehat{DOB}=2\times\widehat{DAB}=2\times 70^\circ=140^\circ$$

   Alors, la mesure de l’angle non convexe $\widehat{BOD}$ est :

   $$\widehat{BOD}_{\text{non convexe}}=360^\circ-140^\circ=\boxed{220^\circ}$$

3. L’angle non convexe $\widehat{BOD}$ est l’angle au centre associé à l’angle inscrit $\widehat{BCD}$, car ils interceptent le même arc majeur $\overset{\frown}{BD}$.

   Comme $\widehat{BOD}_{\text{non convexe}}=220^\circ$, alors :

   $$\widehat{BCD}=\dfrac{\widehat{BOD}_{\text{non convexe}}}{2}=\dfrac{220^\circ}{2}=\boxed{110^\circ}$$

1. Les triangles $BDE$ et $ADF$ ont deux angles égaux :

   – $\widehat{DAF} = \widehat{BED} = 90^\circ$

   – $\widehat{ADE} = \widehat{BDE}$ (angles confondus).

   Donc, par le 1er cas de similitude, les triangles $BDE$ et $ADF$ sont semblables.

2. Puisque les triangles $BDE$ et $ADF$ sont semblables, les longueurs des côtés homologues sont proportionnelles :
   $$\frac{BD}{DF} = \frac{DE}{DA} = \frac{BE}{AF}$$

   Donc :

   $$\frac{BD}{DF} = \frac{DE}{DA}$$

   En multipliant en croix, on obtient :

   $$BD \times DA = DE \times DF$$

3. Les triangles $ACB$ et $ECF$ ont deux angles égaux :

   – $\widehat{ACB} = \widehat{ECF}$ (angles opposés par le sommet).

   – $\widehat{CAB} = \widehat{CEF}$ (angles droits).

   Donc, par le 1er cas de similitude, les triangles $ACB$ et $ECF$ sont semblables.

1. Dans le triangle $EDC$ :

   $A \in (ED)$, $I \in (EC)$ et $(AI)\parallel(DC)$

   Donc, d’après le théorème de Thalès :
   $$\frac{EA}{ED}=\frac{EI}{EC}=\frac{AI}{DC}$$ Ainsi :
   $$\frac{2}{6}=\frac{AI}{4,2}$$ alors : $$AI=\frac{2\times 4,2}{6}=\frac{8,4}{6}=1,4$$ Donc : $$\boxed{AI = 1,4}.$$

2. Dans le triangle $IBC$ :

   $A\in (IB)$, $E\in (IC)$ et $(AE)\parallel (BC)$

   D’après le théorème de Thalès :
   $$\frac{IC}{IE}=\frac{IB}{IA}=\frac{BC}{AE}$$ On en déduit :
   $$\frac{IC}{IE}=\frac{BC}{AE}=\frac{4}{2}=2$$ Donc : $$\boxed{IC=2\,IE}$$

3. Dans le triangle $DEC$, on a : $A\in(DE)$, $M\in(DC)$.Les points $D,A,E$ ainsi que $D,M,C$ sont dans le même ordre.On compare les deux rapports : $$\dfrac{DA}{DE} \quad\text{ et }\quad\dfrac{DM}{DC}$$
   On a :
   $$\frac{DA}{DE}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}, \quad \frac{DM}{DC}=\frac{2,8}{4,2}=\frac{28}{42}=\frac{2}{3}$$ Donc : $$\frac{DA}{DE}=\frac{DM}{DC}$$ Par la réciproque du théorème de Thalès, on conclut :
   $$\boxed{(AM)\parallel(EC)}$$
4. Dans le triangle $DEC$ :

   $A\in(DE)$, $M\in(DC)$ et $(AM)\parallel(EC)$.

   Donc :
   $$\frac{DA}{DE}=\frac{DM}{DC}=\frac{AM}{CE}$$ En particulier :
   $$\frac{DA}{DE}=\frac{AM}{CE}$$ Remplaçons :
   $$\frac{4}{6}=\frac{AM}{CE}$$ alors : $$\frac{2}{3}=\frac{AM}{CE}$$ D’où la relation :
   $$\boxed{3AM=2CE}$$

1. 1. On compare les carrés (quantités positives) :
      $$\big(\sqrt{19}\big)^2=19 \quad\text{et}\quad \big(3\sqrt{2}\big)^2=9\times2=18.$$ Comme $19>18$, on a :
      $$\boxed{\sqrt{19} \;>\; 3\sqrt{2}}.$$
   2. D’après (a), $\sqrt{19} \;>\; 3\sqrt{2}$, alors : $3\sqrt{2}-\sqrt{19}<0$, alors :
      \[\begin{aligned}
      K &= \sqrt {{{\left( {3\sqrt 2 – \sqrt {19} } \right)}^2}} + 3\sqrt 2 \\
      K &= – \left( {3\sqrt 2 – \sqrt {19} } \right) + 3\sqrt 2 \\
      K &= – 3\sqrt 2 + \sqrt {19} + 3\sqrt 2 \\
      K &= \sqrt {19}
      \end{aligned}\]
      D’où :
      $$\boxed{K=\sqrt{19}}.$$
2. 1. On compare d’abord $3\sqrt{5}$ et $4\sqrt{3}$ (positifs) :
      $$\big(3\sqrt{5}\big)^2=9\times5=45,\qquad \big(4\sqrt{3}\big)^2=16\times3=48.$$ Donc : $$3\sqrt{5}<4\sqrt{3}.$$ En multipliant par $-1$ (ce qui inverse le sens) : $$\boxed{-3\sqrt{5}\;>\;-4\sqrt{3}}.$$
   2. D’après (a), $3\sqrt{5}<4\sqrt{3}$, donc :
      $$2025+3\sqrt{5}\;<\;2025+4\sqrt{3}.$$ Pour des dénominateurs positifs, plus le dénominateur est petit, plus la fraction est grande. Ainsi : $$\boxed{\dfrac{1}{2025+3\sqrt{5}} \;>\; \dfrac{1}{2025+4\sqrt{3}}}.$$

1. Puisque : $1 \le a \le 3$ et $-6 \le b \le -2$, on additionne les bornes correspondantes :
   alors : $$1+(-6) \le a+b \le 3+(-2),$$ alors : $$\boxed{-5 \le a+b \le 1}$$
2. Remarquez que $-b$ est l’opposé de $b$. Comme $-6\le b\le -2$, on a
   $$2 \le -b \le 6$$

   En ajoutant les inégalités $1\le a\le3$ et $2\le -b\le6$ terme à terme :

   $$1+2 \le a+(-b) \le 3+6$$ d’où :
   $$\boxed{3 \le a-b \le 9}$$

3. On utilise encore $1\le a\le3$ et $2\le -b\le6$, donc :
   $$1 \times 2 \le a \times (-b) \le 3 \times 6$$

   Cela donne :

   $$2 \le -ab \le 18$$

   donc :

   $$-18 \le ab \le -2$$

   En ajoutant $18$ à chaque membre :

   $$-18+18 \le ab+18 \le -2+18$$

   c’est-à-dire :

   $$0 \le ab+18 \le 16$$

   Enfin, en divisant par $16>0$ :

   $$\boxed{0 \le \dfrac{ab+18}{16} \le 1}$$

4. On a : $1 \le \sqrt {5 -c} \le 2$. En élevant au carré :
   $$1^2 \le \sqrt {5 -c}^2 \le 2^2$$

   C’est-à-dire :

   $$1 \le 5 -c \le 4$$

   Isolons $c$ :

   $$1-5 \le -c \le 4-5$$

   C’est-à-dire :

   $$-4 \le -c \le -1$$

   En multipliant par $-1$ :

   $$\boxed{1 \le c \le 4}$$

1. Dans le triangle $AEF$, on a :
   $$M\in (AE), C\in (AF) \text{ et } (MC)\parallel(EF)$$ D’après le théorème de Thalès : $$\dfrac{AM}{AE}=\dfrac{AC}{AF}=\dfrac{MC}{EF}$$ On en déduit :$$\dfrac{AM}{AE}=\dfrac{MC}{EF}$$ En remplaçant : $$\dfrac{2}{5}=\dfrac{MC}{7}$$ Alors : $$MC=\dfrac{2\times 7}{5}=\dfrac{14}{5}=2,8.$$ Donc : $$\boxed{MC=2,8cm}$$
2. Puisque $M\in[AE]$, alors : $$EM=AE-AM=5-2=3$$ Donc : $$\boxed{EM=3cm}$$
3. Dans le triangle $EAF$, on a : $M\in(EA)$ et $B\in(EF)$.Les points $E,M,A$ ainsi que $E,B,F$ sont dans le même ordre.On compare les deux rapports : $$\dfrac{EM}{EA} \quad\text{ et }\quad \dfrac{EB}{EF}$$ On a : $$\dfrac{EM}{EA}=\dfrac{3}{5}\quad\text{et}\quad\dfrac{EB}{EF}=\dfrac{4,2}{7}=\dfrac{42}{70}=\dfrac{3\times 14}{5\times 14}=\dfrac{3}{5}$$ Ainsi : $$\dfrac{EM}{EA}=\dfrac{EB}{FE}.$$ D’après la réciproque du théorème de Thalès, on conclut que : $$\boxed{(MB)\parallel(AC)}$$

1. On a : $$\begin{aligned}
   a -b &=\sqrt {45} + 2\sqrt 5 -3\sqrt {20}\\
   &=\sqrt{3^2\times 5} + 2\sqrt{5}-3\sqrt{2^2\times 5}\\
   &=3\sqrt{5}+2\sqrt{5}-6\sqrt{5}\\
   &=\boxed{- \sqrt 5} \end{aligned}$$
2. Puisque $a-b=-\sqrt{5} < 0 $, alors $\boxed{a < b}$

1. 1. Comparons $5\sqrt{2}$ et $3\sqrt{5}$On compare d’abord les carrés :$$
      (5\sqrt{2})^2 -(3\sqrt{5})^2 = 25\times 2 -9\times 5 = 50 -45 = 5 > 0$$ alors : $$(5\sqrt{2})^2 > (3\sqrt{5})^2$$ Comme $5\sqrt{2}$ et $3\sqrt{5}$ sont positifs, alors :
      $$\boxed{\,5\sqrt{2} > 3\sqrt{5}\,}$$
   2. Comparons $-\sqrt{30}$ et $-2\sqrt{7}$
      $$
      (-\sqrt{30})^2 -(-2\sqrt{7})^2 = 30 -4\times 7 = 30 -28 = 2 > 0$$ alors :
      $$(-\sqrt{30})^2 > (-2\sqrt{7})^2$$
      Les deux nombres étant négatifs, l’ordre s’inverse :
      $$\boxed{\, -\sqrt{30} < -2\sqrt{7} \,}$$
   1. De $5\sqrt{2} > 3\sqrt{5}$ on obtient :
      $$
      2 + 5\sqrt{2} > 2 + 3\sqrt{5}$$ alors :
      $$
      \boxed{\,\dfrac{1}{2 + 5\sqrt{2}} < \dfrac{1}{2 + 3\sqrt{5}}\,}.
      $$
   2. De $-\sqrt{30} < -2\sqrt{7}$ on déduit $$\sqrt{30} > 2\sqrt{7}$$ donc :
      $$
      3 + \sqrt{30} > 3 + 2\sqrt{7}$$
      donc :
      $$\boxed{\,\sqrt{\,3 + \sqrt{30}\,} > \sqrt{\,3 + 2\sqrt{7}\,}\,}.
      $$
2. Comparons : $\sqrt{2025} + 1$ et $\sqrt{2026}$.On compare les carrés : $$\begin{aligned}
   (\sqrt{2025} + 1)^2 -(\sqrt{2026})^2 &= (2025 + 2\sqrt{2025} + 1) -2026\\
   &= 2\sqrt{2025} > 0.\end{aligned}
   $$
   Donc : $(\sqrt{2025} + 1)^2 > (\sqrt{2026})^2$, d’où :
   $$\boxed{\,\sqrt{2025} + 1 > \sqrt{2026}\,}$$

1. $\bullet$ On a : $1 \le a \le 2$ et $-3 \le b \le -2$, alors : $$1+(-3) \le a+b \le 2+(-2),$$ donc $$\boxed{-2 \le a+b \le 0}$$ $\bullet$ On a : $1 \le a \le 2$ et $2 \le -b \le 3$, alors : $$1+2 \le a+(-b) \le 2+3,$$ donc : $$\boxed{3 \le a-b \le 5}$$ $\bullet$ On a : $1 \le a \le 2$ et $2 \le -b \le 3$, alors : $$1\times 2 \le a\times(-b) \le 2\times 3,$$ donc : $$2 \le -ab \le 6,$$ alors $$-6 \le ab \le -2,$$ alors : $$-6+6 \le ab+6 \le -2+6,$$ d’où : $$\boxed{0 \le ab+6 \le 4}$$ $\bullet$ On a : $-3 \le b \le -2$ alors : $$(-2)^2 \le b^2 \le (-3)^2,$$ donc : $$4 \le b^2 \le 9, $$ alors :$$4-4 \le b^2-4 \le 9-4$$ d’où : $$\boxed{0 \le b^2-4 \le 5}$$
2. On a : $1 \le \dfrac{{1 – 2c}}{3} \le \dfrac{5}{3}$, alors : $$1 \times 3 \le \dfrac{{1 – 2c}}{3} \times 3 \le \dfrac{5}{3} \times 3,$$ alors : $$3 \le 1 – 2c \le 5,$$ alors : $$3 – 1 \le 1 – 2c – 1 \le 5 – 1,$$ alors : $$2 \le – 2c \le 4,$$ alors : $$\dfrac{2}{{ – 2}} \ge \dfrac{{ – 2c}}{{ – 2}} \ge \dfrac{4}{{ – 2}},$$ d’où : $$\boxed{ – 1 \ge c \ge – 2}$$

• On a : $2>1$, alors $\sqrt{2}>1$, donc $1-\sqrt{2}<0$, d'où : $$A = \sqrt {{{\left( {1 - \sqrt 2 } \right)}^2}} =-\left( {1 - \sqrt 2 } \right)=\boxed{\sqrt{2}-1}$$
• On remarque que : $28+10\sqrt 3=(5+\sqrt 3)^2$, donc : $$B = \sqrt {28 + 10\sqrt 3 } = \sqrt {{{\left( {5 + \sqrt 3 } \right)}^2}} = \boxed{5 + \sqrt 3 }$$ (car $5+\sqrt{3}>0$).
• On remarque que : $28=2^2\times 7$ et $63=3^2\times 7$, alors :
  $$\begin{aligned}
  C &= 2\sqrt {28} + 3\sqrt {63} -13\sqrt 7 \\
  &= 2\sqrt {{2^2} \times 7} + 3\sqrt {{3^2} \times 7} -13\sqrt 7\\
  &= 4\sqrt 7 + 9\sqrt 7 -13\sqrt 7\\
  &= \left( {4 + 9 -13} \right)\sqrt 7 \\
  &= \boxed{0}\end{aligned}$$